Os eventos A, B e C são independentes. Prove que P(B \mid A \cap C)=P(B \mid A \cup C)=P(B).

Passo 1

O enunciado diz que os eventos A, B e C são independentes (mutuamente). Precisamos mostrar que
P\bigl(B\mid A\cap C\bigr)=P\bigl(B\mid A\cup C\bigr)=P(B).
Para isso usaremos a definição de probabilidade condicional
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}
e as propriedades de independência
P(A\cap B)=P(A)\,P(B),\quad P(A\cap B\cap C)=P(A)\,P(B)\,P\text{(C)},
além da fórmula de união
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A)\,P\text{(C)}.

Passo 2

Cálculo de P\bigl(B\mid A\cap C\bigr):
P\bigl(B\mid A\cap C\bigr) =\frac{P\bigl(B\cap A\cap C\bigr)}{P(A\cap C)} =\frac{P(A)\,P(B)\,P\text{(C)}}{P(A)\,P\text{(C)}} =P(B).

Passo 3

Cálculo de P\bigl(B\mid A\cup C\bigr):
P\bigl(B\mid A\cup C\bigr) =\frac{P\bigl(B\cap (A\cup C)\bigr)}{P(A\cup C)}.
Por inclusão–exclusão,
P\bigl(B\cap (A\cup C)\bigr) =P(B\cap A)+P(B\cap C)-P(B\cap A\cap C).
Usando independência em cada termo,
P(B\cap A)=P(A)\,P(B),\quad P(B\cap C)=P\text{(C)}\,P(B),\quad P(B\cap A\cap C)=P(A)\,P(B)\,P\text{(C)}.
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P\bigl(B\cap (A\cup C)\bigr) =P(B)\bigl[P(A)+P\text{(C)}-P(A)\,P\text{(C)}\bigr] =P(B)\,P(A\cup C),
e portanto
P\bigl(B\mid A\cup C\bigr) =\frac{P(B)\,P(A\cup C)}{P(A\cup C)} =P(B).

Resposta

P\bigl(B\mid A\cap C\bigr)=P\bigl(B\mid A\cup C\bigr)=P(B).

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