Seja ( X, Y ) um vetor aleatório bidimensional. Suponha que (i) X tem distribuição exponencial com parâmetro 12 e (ii) para cada
x>0, a distribuição condicional de Y dado que X=x dote U[0, x^2]. Em outras palayras, X sim exp (12) e Y mid X=x sim i U[0, x^2].
(a) Qual é a distribuição de Z=Y / X^2 ?
(b) Calcule EX, EY e Cov(X, Y).

Passo 1

O enunciado descreve um vetor (X,Y) em que
  1. X é exponencial com parâmetro lambda=tfrac12, isto é,
fX(x)=tfrac12,e^-x/2, x>=0
  1. Dada X=x, Y é uniforme em [0,x^2], ou seja,
Ymid X=xsim Ul(0,x^2r)
Precisamos achar
(a) a lei de Z=Y/X^2 e
(b) E[X], E[Y] e Cov(X,Y).

Passo 2

Para (a), note que, fixo X=x, a variável
Z=Yx^2
é uniforme em [0,1]. Como essa distribuição condicional não depende de x, segue que
Zsim U(0,1)

Passo 3

Para E[X], basta usar que, se Xsimexp(lambda), então E[X]=1/lambda. Aqui lambda=tfrac12, logo
E[X]=11/2=2

Passo 4

Para E[Y], usamos a lei da esperança total:
E[Y]=El[E[Ymid X]r]
Como Ymid X=xsim U(0,x^2), temos E[Ymid X=x]=x^2/2. Portanto
E[Y]=El[tfracX^22r]=12,E[X^2]
E como para Xsimexp(1/2) vale
E[X^2]=Var(X)+l(E[X]r)^2 =4 + 2^2=8,
segue
E[Y]=tfrac12cdot 8=4

Passo 5

Para Cov(X,Y), usamos
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y]
Calculemos E[XY] via esperança iterada:
E[XY]=El[X,E[Ymid X]r] =El[XcdottfracX^22r] =12,E[X^3]
Sabendo que para exponencial E[X^3]=3!/lambda^3=6cdot2^3=48, temos
E[XY]=tfrac12cdot48=24
Logo
Cov(X,Y)=24 - (2)(4)=24-8=16

Resposta

(a) Zsim U(0,1)
(b) E[X]=2,;E[Y]=4,;Cov(X,Y)=16

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