Seja (
) um vetor aleatório bidimensional. Suponha que (i)
tem distribuição exponencial com parâmetro
e (ii) para cada
, a distribuição condicional de
dado que
. Em outras palayras,
e
.
(a) Qual é a distribuição de
?
(b) Calcule EX, EY e
.
(a) Qual é a distribuição de
(b) Calcule EX, EY e
Passo 1
O enunciado descreve um vetor
em que
-
é exponencial com parâmetro , isto é,
- Dada
, é uniforme em , ou seja,
Precisamos achar
(a) a lei de e
(b) ,
e
.
(a) a lei de
(b)
Passo 2
Para (a), note que, fixo
, a variável
é uniforme em
. Como essa distribuição condicional não depende de
, segue que
Passo 3
Para
, basta usar que, se
, então
. Aqui
, logo
Passo 4
Para
, usamos a lei da esperança total:
Como
, temos
. Portanto
E como para
vale
segue
Passo 5
Para
, usamos
Calculemos
via esperança iterada:
Sabendo que para exponencial
, temos
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)