Seja ( X, Y ) um vetor aleatório bidimensional. Suponha que (i) X tem distribuição exponencial com parâmetro 12 e (ii) para cada
x>0, a distribuição condicional de Y dado que Z=Y / X^2. Em outras palayras, Cov(X, Y) e .
(a) Qual é a distribuição de ?
(b) Calcule EX, EY e .

Passo 1

O enunciado descreve um vetor fX(x)=tfrac12,e^-x/2, x>=0 em que
  1. Ymid X=xsim Ul(0,x^2r) é exponencial com parâmetro , isto é,
  1. Dada , é uniforme em , ou seja,
Precisamos achar
(a) a lei de e
(b) , e .

Passo 2

Para (a), note que, fixo Z=Yx^2 , a variável
Zsim U(0,1)
é uniforme em . Como essa distribuição condicional não depende de , segue que

Passo 3

Para E[X]=11/2=2 , basta usar que, se , então . Aqui , logo

Passo 4

Para E[Y]=El[E[Ymid X]r] , usamos a lei da esperança total:
E[Y]=El[tfracX^22r]=12,E[X^2]
Como E[X^2]=Var(X)+l(E[X]r)^2 =4 + 2^2=8, , temos E[Y]=tfrac12cdot 8=4 . Portanto
E como para vale
segue

Passo 5

Para Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y] , usamos
E[XY]=El[X,E[Ymid X]r] =El[XcdottfracX^22r] =12,E[X^3]
Calculemos E[XY]=tfrac12cdot48=24 via esperança iterada:
Cov(X,Y)=24 - (2)(4)=24-8=16
Sabendo que para exponencial , temos
Logo

Resposta

(a)
(b)