Os coeficientes a, b e c da equação a x^{2}+b x+c=0 são, respectivamente, os resultados sucessivos de três lançamentos de um dado equilibrado. Calcule a probabilidade das raízes dessa equação serem números reais.

Passo 1

O enunciado diz que os coeficientes a, b e c de
a x^{2} + b x + c = 0
são resultados independentes e equiprováveis de três lançamentos de um dado balanceado (valores de 1 a 6). O conteúdo é probabilidade discreta, e vamos usar a condição de raízes reais via discriminante.

Passo 2

O espaço amostral tem todas as tripletas (a,b,c) com a,b,c\in\{1,2,3,4,5,6\}, portanto \bigl|\Omega\bigr| = 6^3 = 216 resultados igualmente prováveis.

Passo 3

Para que as raízes sejam reais precisamos que o discriminante seja não-negativo:
\Delta = b^2 - 4\,a\,c \ge 0.

Passo 4

Vamos contar para cada par (a,c) quantos valores de b \in \{1,\dots,6\} satisfazem
b^2 \ge 4 \cdot a \cdot c,
que é equivalente a
b \ge \bigl\lceil \sqrt{4 \cdot a \cdot c} \bigr\rceil.

Passo 5

Note que se 4\,a\,c>36 não há b\le6 que funcione. Logo só aparecem soluções quando a\,c\le9. Fazendo resumo por cada a:
Para a=1, a\,c=c vai de 1 a 6. Os valores de \lceil\sqrt{4c}\rceil são, para c=1,2,3,4,5,6, respectivamente
2,3,4,4,5,5
e o número de b válidos em cada caso é
6-2+1,\;6-3+1,\;6-4+1,\;6-4+1,\;6-5+1,\;6-5+1
ou seja
5,4,3,3,2,2,
que somam 19.
Para a=2, só c=1,2,3,4 dão a\,c\le9. Calcula-se \lceil\sqrt{8c}\rceil para c=1,2,3,4 como
3,4,5,6
e os números de b são
4,3,2,1,
somando 10.
Para a=3, só c=1,2,3. Tem \lceil\sqrt{12c}\rceil =4,5,6 e b-contagens 3,2,1, total 6.
Para a=4, só c=1,2. Tem \lceil\sqrt{16c}\rceil =4,6 e b-contagens 3,1, total 4.
Para a=5, só c=1. Tem \lceil\sqrt{20}\rceil=5 e b-contagem 2.
Para a=6, só c=1. Tem \lceil\sqrt{24}\rceil=5 e b-contagem 2.
Somando tudo:
19 + 10 + 6 + 4 + 2 + 2 = 43
casos com \Delta\ge0.

Passo 6

A probabilidade procurada é
\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{total de casos}} = \frac{43}{216}.úá

Resposta

\displaystyle \frac{43}{216}

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