Sendo P(A)=\alpha e P(B)=\beta, 0<\alpha, \beta<1, obtenha os limites inferior e superior para P(A \mid B).

Passo 1

O enunciado dá que P(A)=\alpha e P(B)=\beta com 0<\alpha,\beta<1 e pede os limites inferior e superior de
P(A\mid B).
Para isso vamos usar a definição de probabilidade condicional e as desigualdades de Fréchet para P(A\cap B).

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{\beta}.
Como \beta>0, basta achar os extremos de P(A\cap B) e depois dividir por \beta.

Passo 3

As desigualdades de Fréchet (ou de Boole–Bonferroni) dão
\max\{0,\;P(A)+P(B)-1\}\;\le\;P(A\cap B)\;\le\;\min\{P(A),P(B)\}.
Substituindo P(A)=\alpha e P(B)=\beta resulta
\max\{0,\;\alpha+\beta-1\}\;\le\;P(A\cap B)\;\le\;\min\{\alpha,\beta\}.

Passo 4

Para o limite inferior de P(A\mid B), dividimos a menor possível de P(A\cap B) por \beta:
P(A\mid B)\ge\frac{\max\{0,\;\alpha+\beta-1\}}{\beta}.

Passo 5

Para o limite superior de P(A\mid B), dividimos a maior possível de P(A\cap B) por \beta:
P(A\mid B)\le\frac{\min\{\alpha,\beta\}}{\beta} =\min\Bigl\{\frac{\alpha}{\beta},\,1\Bigr\}.

Resposta

Limite inferior:
\frac{\max\{0,\;\alpha+\beta-1\}}{\beta},
Limite superior:
\min\Bigl\{\frac{\alpha}{\beta},\,1\Bigr\}.

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