Considere o problema de se estimar
Considere a perda 0-1, ou seja,
Considere também os estimadores
(i) Encontre (R\left(\theta, d_{i}(X)\right), i=1,2].
(ii) Qual dos estimadores é minimax? Alguns dos estimadores é inadmissível?
(ii) Qual dos estimadores é minimax? Alguns dos estimadores é inadmissível?
Passo 1
O enunciado define um problema de decisão com parâmetro
A perda é do tipo 0–1, então o risco de qualquer estimador
é
Os estimadores dados são
Vamos calcular .
Passo 2
Cálculo de
R(theta,d1) :
- Para
, a variáveltheta=0 assume valoresX , logo1,2,3,dots sempre eX>0 sempre. Não há erro, entãod1(X)=0
- Para
,theta=1 assume valoresX e0,1,2,dots exatamente quandod1(X)=0 . AssimX>0
Passo 3
Cálculo de
R(theta,d2) :
- Para
,theta=0 . O estimador erra quandoX=1,2,3,dots , isto é, quandod2(X)=1 . LogoX>1
- Para
,theta=1 . O erro ocorre quandoX=0,1,2,dots , isto é,d2(X)=0 . LogoX<=1
Passo 4
Comparando os máximos dos riscos:
-
.maxR(0,d1),R(1,d1)=max0,tfrac12=tfrac12 -
.maxR(0,d2),R(1,d2)=maxtfrac12,tfrac34=tfrac34
Portanto
d1 minimiza o máximo de risco e é minimax. Além disso, como
o estimador
d2 é estritamente dominado por
d1 e, portanto, é inadmissível.
Resposta
O estimador