Considere o problema de se estimar
Considere a perda 0-1, ou seja,
Considere também os estimadores
(i) Encontre (R\left(\theta, d_{i}(X)\right), i=1,2].
(ii) Qual dos estimadores é minimax? Alguns dos estimadores é inadmissível?

Passo 1

O enunciado define um problema de decisão com parâmetro
A perda é do tipo 0–1, então o risco de qualquer estimador é
Os estimadores dados são
Vamos calcular .

Passo 2

Cálculo de R(theta,d1):
  • Para theta=0, a variável X assume valores 1,2,3,dots, logo X>0 sempre e d1(X)=0 sempre. Não há erro, então
R(0,d1)=0
  • Para theta=1, X assume valores 0,1,2,dots e d1(X)=0 exatamente quando X>0. Assim
R(1,d1) = P(X>0midtheta=1) =1-P(X=0midtheta=1) =1-2^-1 =tfrac12

Passo 3

Cálculo de R(theta,d2):
  • Para theta=0, X=1,2,3,dots. O estimador erra quando d2(X)=1, isto é, quando X>1. Logo
R(0,d2) = P(X>1midtheta=0) =1-P(X=1midtheta=0) =1-2^-1 =tfrac12
  • Para theta=1, X=0,1,2,dots. O erro ocorre quando d2(X)=0, isto é, X<=1. Logo
R(1,d2) = P(X<=1midtheta=1) =P(X=0)+P(X=1) =2^-1+2^-2 =tfrac34

Passo 4

Comparando os máximos dos riscos:
  • maxR(0,d1),R(1,d1)=max0,tfrac12=tfrac12.
  • maxR(0,d2),R(1,d2)=maxtfrac12,tfrac34=tfrac34.
Portanto d1 minimiza o máximo de risco e é minimax. Além disso, como
R(theta,d1)<= R(theta,d2) foralltheta e R(1,d1)<R(1,d2),
o estimador d2 é estritamente dominado por d1 e, portanto, é inadmissível.

Resposta

R(0,d1)=0, R(1,d1)=tfrac12
R(0,d2)=tfrac12, R(1,d2)=tfrac34
O estimador d1 é minimax e d2 é inadmissível.

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