Seja uma única observação da distribuição Poisson(theta). Encontre o risco de Bayes do estimador d(X)=X, com relação à perda quadrática e a priori Gama(alpha, beta).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma única observação X distribuída como Poisson(theta), usamos a perda quadrática
L(d(X),theta) = l(d(X)-thetar)^2
e adotamos como priori a Gama(alpha,beta). Nosso objetivo é calcular o risco de Bayes do estimador d(X)=X, isto é,
r(d) ;=; Ethetal[R(theta,d)r]
onde R(theta,d)=EXmidtheta[(X-theta)^2].

Passo 2

Para um theta fixo, o risco frequentista é
R(theta,d)=EXmidthetal[(X-theta)^2r] =Var(Xmidtheta)+l(E[Xmidtheta]-thetar)^2
Como XmidthetasimPoisson(theta), temos E[Xmidtheta]=theta e Var(Xmidtheta)=theta. Logo o viés é zero e
R(theta,d)=theta

Passo 3

O risco de Bayes é a esperança de R(theta,d) sob a priori Gama(alpha,beta), para a qual
E[theta] =alphabeta
Portanto
r(d)=Etheta[R(theta,d)] =Etheta[theta] =alphabeta

Resposta

O risco de Bayes do estimador d(X)=X sob perda quadrática e priori Gama(alpha,beta) é
boxedalphabeta

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