Seja
o tempo de vida de uma lâmpada (em mil horas) fabricada por certa companhia. Considera-se que
é uma variável aleatória com densidade
Considere para
a priori
(i) Encontre a distribuição a posteriori de
.
(ii) Encontre o estimador de Bayes de
e
com relação à perda quadrática.
(ii) Encontre o estimador de Bayes de
Passo 1
O enunciado nos diz que
dado
segue uma exponencial de densidade
e a priori de
é
que é uma distribuição Gama com parâmetros
e taxa
. Queremos (i) a densidade a posteriori de
após observar um valor
de
e (ii) os estimadores de Bayes de
e
sob perda quadrática.
Passo 2
A partir da verossimilhança de um único dado
, temos
Multiplicando pela priori, a forma não-normalizada da posterior é
Passo 3
Reconhecemos que
é o kernel de uma Gama com parâmetros
e taxa
, pois
Logo
Passo 4
Sob perda quadrática, o estimador de Bayes de
é
Para
vale
Aqui
,
, então
Passo 5
Analogamente, o estimador de Bayes de
é
Para
tem-se
Logo
Resposta
A posteriori é
Os estimadores de Bayes sob perda quadrática são: