Seja X o tempo de vida de uma lâmpada (em mil horas) fabricada por certa companhia. Considera-se que X é uma variável aleatória com densidade
f(x mid theta)=theta e^-theta x, x>0
Considere para theta a priori
pi(theta)=16 theta e^-4 theta, theta>0
(i) Encontre a distribuição a posteriori de theta.
(ii) Encontre o estimador de Bayes de E(X) e Var(X) com relação à perda quadrática.

Passo 1

O enunciado nos diz que X dado theta segue uma exponencial de densidade
f(xmidtheta)=theta,e^-theta x,;x>0,
e a priori de theta é
pi(theta)=16,theta,e^-4theta,;theta>0,
que é uma distribuição Gama com parâmetros alpha=2 e taxa beta=4. Queremos (i) a densidade a posteriori de theta após observar um valor x de X e (ii) os estimadores de Bayes de E(X)=1/theta e Var(X)=1/theta^2 sob perda quadrática.

Passo 2

A partir da verossimilhança de um único dado x, temos
L(thetamid x)=theta,e^-theta x
Multiplicando pela priori, a forma não-normalizada da posterior é
pi(thetamid x)propto L(thetamid x),pi(theta) =l(theta,e^-theta xr)cdotl(16,theta,e^-4thetar) =16,theta^2,e^-(x+4)theta

Passo 3

Reconhecemos que
pi(thetamid x) =16,theta^2,e^-(x+4)theta
é o kernel de uma Gama com parâmetros
alpha'=3 e taxa beta'=x+4, pois
(beta')^alpha'Gamma(alpha'),theta^alpha'-1,e^-beta'theta =(x+4)^32!,theta^2,e^-(x+4)theta
Logo
thetamid xsim Gammal(3,;x+4r)

Passo 4

Sob perda quadrática, o estimador de Bayes de E(X)=1/theta é
de<a1(x)=El[1/thetamid xr]
Para thetasimGamma(alpha',beta') vale
El[1/thetar] =beta'alpha'-1 (alpha'>1)
Aqui alpha'=3, beta'=x+4, então
de<a1(x) =x+43-1 =x+42

Passo 5

Analogamente, o estimador de Bayes de Var(X)=1/theta^2 é
de<a2(x)=El[1/theta^2mid xr]
Para Gamma(alpha',beta') tem-se
El[1/theta^2r] =beta'^2(alpha'-1)(alpha'-2) (alpha'>2)
Logo
de<a2(x) =(x+4)^2(3-1)(3-2) =(x+4)^22

Resposta

A posteriori é
thetamid xsimGammal(3,;x+4r)
Os estimadores de Bayes sob perda quadrática são:
widehatE(X)=x+42, widehatVar(X)=(x+4)^22

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