Seja X uma única observação da distribuição N(mu, 1), onde -infty<mu<infty. Considere a perda quadrática.
(i) Encontre o risco R(mu, d) para a classe D=d ; d(x)=c X.
(ii) Encontre, na classe D, o estimador minimax de mu.
(iii) Encontre em D o estimador de Bayes de mu com relação a priori pi(mu)= 1 / 2 ;-1 <= mu <= 1.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma única observação Xsim N(mu,1) e queremos estimadores da forma d(x)=c,x sob perda quadrática L(mu,d)= (,d(X)-mu,)^2. O que precisamos:
  1. Calcular o risco R(mu,d)=Emul[(cX-mu)^2r]
  2. Dentro da classe D=d(x)=c,x, achar o estimador minimax, isto é o c que minimiza supmu R(mu,d).
  3. Ainda em D, achar o estimador de Bayes para prior pi(mu)=tfrac12 em muin[-1,1], isto é o c que minimiza o risco médio r(c)=integral R(mu,d),pi(mu),dmu.

Passo 2

Cálculo do risco genérico:
R(mu,d) =Emul[(cX-mu)^2r] =Emul[c^2(X-mu)^2 +2c(X-mu)(mu-!0)+( mu-!0)^2(!1-c)^2r]
Como Emu[X-mu]=0 e Var(X)=1, sobra
R(mu,d)=c^2cdot1+(c-1)^2,mu^2 =c^2+(c-1)^2,mu^2

Passo 3

Para minimizar supmu R(mu,d) note que, se cneq1, o termo (c-1)^2,mu^2 explode quando |mu|toinfty, dando supmu R=infty. A única forma de ter supmu R<infty é escolher c=1. Nesse caso
R(mu,d)=1^2+(1-1)^2mu^2=1,
logo o estimador minimax em D é
drm mm(x)=x

Passo 4

Para encontrar o estimador de Bayes em D com prior uniforme em [-1,1], calculamos o risco médio
r(c) =integral-1^1l[c^2+(c-1)^2mu^2r]12,dmu =c^2+(c-1)^22integral-1^1mu^2,dmu
Como integral-1^1mu^2,dmu=tfrac23, vem
r(c)=c^2+(c-1)^22cdot23 =c^2+(c-1)^23
Derivando em c e igualando a zero,
r'(c)=2c+2(c-1)3=0 ;Longrightarrow; 6c+2(c-1)=0 ;Longrightarrow; 8c=2 ;Longrightarrow; c=tfrac14
Portanto o estimador de Bayes em D é
drm Bayes(x)=14,x

Resposta

(i) R(mu,d)=c^2+(c-1)^2mu^2
(ii) Estimador minimax: d(x)=x.
(iii) Estimador de Bayes em D: d(x)=tfrac14,x.

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