Seja
uma única observação da distribuição
, onde
. Considere a perda quadrática.
(i) Encontre o risco
para a classe
.
(ii) Encontre, na classe
, o estimador minimax de
.
(iii) Encontre em
o estimador de Bayes de
com relação a priori
.
(i) Encontre o risco
(ii) Encontre, na classe
(iii) Encontre em
Passo 1
O enunciado diz que temos uma única observação
e queremos estimadores da forma
sob perda quadrática
. O que precisamos:
- Calcular o risco
- Dentro da classe
, achar o estimador minimax, isto é o que minimiza . - Ainda em
, achar o estimador de Bayes para prior em , isto é o que minimiza o risco médio .
Passo 2
Cálculo do risco genérico:
Como
e
, sobra
Passo 3
Para minimizar
note que, se
, o termo
explode quando
, dando
. A única forma de ter
é escolher
. Nesse caso
logo o estimador minimax em
é
Passo 4
Para encontrar o estimador de Bayes em
com prior uniforme em
, calculamos o risco médio
Como
, vem
Derivando em
e igualando a zero,
Portanto o estimador de Bayes em
é
Resposta
(i)
(ii) Estimador minimax: .
(iii) Estimador de Bayes em :
.
(ii) Estimador minimax:
(iii) Estimador de Bayes em