Sejam
Encontre o estimador de Bayes de (\theta] com relação à perda quadrática e seu risco de Bayes.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra
O objetivo é achar o estimador de Bayes para (\theta] sob perda quadrática (ou seja, o posterior mean) e calcular o risco de Bayes (a expectativa do risco quadrático em relação à priori).
Passo 2
Vamos identificar a priori como uma distribuição Beta. De fato,
então
. A função de verossimilhança para os dados
é
Multiplicando pela priori, obtemos a posterior
isto é,
Passo 3
Sob perda quadrática, o estimador de Bayes é a esperança posterior
Passo 4
Para cada
, o risco do estimador
é
Como
com
, temos
logo o viés é
e
Passo 5
O risco de Bayes é a expectativa de
em relação à priori Beta
:
Calculando essa integral (por exemplo usando momentos da Beta
), chega-se ao resultado fechado
Resposta
O estimador de Bayes sob perda quadrática é
e seu risco de Bayes é