Sejam
Encontre o estimador de Bayes de (\theta] com relação à perda quadrática e seu risco de Bayes.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra
O objetivo é achar o estimador de Bayes para (\theta] sob perda quadrática (ou seja, o posterior mean) e calcular o risco de Bayes (a expectativa do risco quadrático em relação à priori).

Passo 2

Vamos identificar a priori como uma distribuição Beta. De fato,
pi(theta)propto theta^2-1(1-theta)^1-1,
então thetasimBeta(alpha=2,beta=1). A função de verossimilhança para os dados x=(x1,dots,xn) é
L(theta;x)=theta^sumi xi(1-theta)^n-sumi xi
Multiplicando pela priori, obtemos a posterior
pi(thetamid x)propto theta^sumi xi+2-1(1-theta)^n-sumi xi+1-1,
isto é,
thetamid xsimBetal(alpha'=sumi=1^n xi+2,;beta'=n-sumi=1^n xi+1r)

Passo 3

Sob perda quadrática, o estimador de Bayes é a esperança posterior
de<aB(x) =E[thetamid x] =alpha'alpha'+beta' =sumi=1^n xi+2n+3

Passo 4

Para cada theta, o risco do estimador de<aB é
R(theta,de<aB) =Ethetal[(de<aB- theta)^2r] =Varthetal(de<aBr) +l(Etheta[de<aB]-thetar)^2
Como de<aB=(S+2)/(n+3) com SsimBinomial(n,theta), temos
Vartheta(de<aB) =n,theta(1-theta)(n+3)^2, Etheta[de<aB] =ntheta+2n+3,
logo o viés é
ntheta+2n+3-theta =2-3thetan+3,
e
R(theta,de<aB) =n,theta(1-theta)(n+3)^2 +(2-3theta)^2(n+3)^2 =n,theta(1-theta)+(2-3theta)^2(n+3)^2

Passo 5

O risco de Bayes é a expectativa de R(theta,de<aB) em relação à priori Beta (2,1):
rB =integral0^1R(theta,de<aB),pi(theta),dtheta =integral0^1n,theta(1-theta)+(2-3theta)^2(n+3)^2;2theta,dtheta
Calculando essa integral (por exemplo usando momentos da Beta (2,1)), chega-se ao resultado fechado
rB =3n^2+22n+3618,(n+3)^2,(n+4)

Resposta

O estimador de Bayes sob perda quadrática é
de<aB(x) =sumi=1^n xi+2n+3,
e seu risco de Bayes é
rB =3n^2+22n+3618,(n+3)^2,(n+4)

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