Seja X uma única observação da variável aleatória X com função de probabilidade
f(x mid theta)=2!x!(2-x)! theta^x(1-theta)^2-x, x=0,1,2
onde 0<theta<1. Considere os estimadores d1(X)=X / 2 e d2(X)=(X+1) / 4 e função de perda quadrática.
(i) Verifique se existe um estimador uniformemente melhor (melhor para todo theta ), ou seja, verifique se um dos estimadores é inadmissível.
(ii) Qual dos estimadores é minimax?

Passo 1

O enunciado trata de uma única observação XsimBinomial(n=2,theta), com função de probabilidade
f(xmidtheta)=2!x!(2-x)!,theta^x(1-theta)^2-x, x=0,1,2,;0<theta<1
Temos dois estimadores de theta e a perda quadrática L(theta,d)=(d-theta)^2. Vamos calcular o risco de cada estimador:
Ri(theta)=Ethetal[(di(X)-theta)^2r],;i=1,2,
para comparar e ver (i) se há dominância uniforme e (ii) qual é minimax.

Passo 2

Cálculo do risco de . Como e , temos
logo é não viesado. Além disso
Como o viés é zero, o risco é igual à variância:

Passo 3

Cálculo do risco de . Primeiro o viés:
então
A variância é
Assim o risco fica

Passo 4

Comparação dos riscos. Defina
De<a(theta)=R1(theta)-R2(theta) =theta(1-theta)2-2theta^2-2theta+116 =10theta(1-theta)-116
Note que 10theta(1-theta) varia de 0 em theta=0,1 até 2.5 em theta=0.5. Logo
De<a(theta)>0 Long<=ftrightarrow 10theta(1-theta)>1 Long<=ftrightarrow thetain(0,1127,;0,8873)
Isso mostra que para theta médio R1>R2 (isto é, d2 é melhor) e para theta próximo a 0 ou 1 ocorre R1<R2 (isto é, d1 é melhor). Concluímos que nenhum domina o outro para todo theta; portanto não há estimador uniformemente melhor e nenhum dos dois é inadmissível por dominância mútua.

Passo 5

Cálculo do risco máximo de cada um:
suptheta R1(theta) =maxthetain[0,1]theta(1-theta)2 ocorre em theta=tfrac12 e va<= 1/42=18=0,125,
suptheta R2(theta) =maxthetain[0,1]2theta^2-2theta+116 ocorre em theta=0 ou 1 e va<= 116=0,0625
Como 0,0625<0,125, o estimador d2 possui menor risco máximo e é o estimador minimax.

Resposta

(i) Não existe dominância uniforme entre d1 e d2; nenhum deles é inadmissível por dominância mútua.
(ii) O estimador minimax é d2(X)=(X+1)/4.

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