Seja
uma única observação da variável aleatória
com função de probabilidade
onde
. Considere os estimadores
e
e função de perda quadrática.
(i) Verifique se existe um estimador uniformemente melhor (melhor para todo
), ou seja, verifique se um dos estimadores é inadmissível.
(ii) Qual dos estimadores é minimax?
(i) Verifique se existe um estimador uniformemente melhor (melhor para todo
(ii) Qual dos estimadores é minimax?
Passo 1
O enunciado trata de uma única observação
, com função de probabilidade
Temos dois estimadores de
e a perda quadrática
. Vamos calcular o risco de cada estimador:
para comparar e ver (i) se há dominância uniforme e (ii) qual é minimax.
Passo 2
Cálculo do risco de
. Como
e , temos
logo
é não viesado. Além disso
Como o viés é zero, o risco é igual à variância:
Passo 3
Cálculo do risco de
. Primeiro o viés:
então
A variância é
Assim o risco fica
Passo 4
Comparação dos riscos. Defina
Note que
varia de
em
até
em
. Logo
Isso mostra que para
médio
(isto é,
é melhor) e para
próximo a 0 ou 1 ocorre
(isto é,
é melhor). Concluímos que nenhum domina o outro para todo
; portanto não há estimador uniformemente melhor e nenhum dos dois é inadmissível por dominância mútua.
Passo 5
Cálculo do risco máximo de cada um:
Como
, o estimador
possui menor risco máximo e é o estimador minimax.
Resposta
(i) Não existe dominância uniforme entre
e
; nenhum deles é inadmissível por dominância mútua.
(ii) O estimador minimax é .
(ii) O estimador minimax é