Considere X \sim U_{c}(0,1). Para que função g, estritamente decrescente, temos g(X) com distribuição Exponencial de parâmetro 1?

Passo 1

O enunciado diz que temos X\sim U_{c}(0,1), ou seja, X é uniforme contínua em (0,1), e queremos achar uma função estritamente decrescente g tal que Y=g(X) tenha distribuição Exponencial de parâmetro 1. Para isso, vamos usar a relação entre a CDF de Y e a CDF de X quando g é monótona.

Passo 2

Se g é estritamente decrescente e contínua, existe inversa g^{-1} com imagem [0,\infty)\to(0,1). A CDF de Y é
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P\bigl(g(X)\le y\bigr).
Como g decresce, o evento \{g(X)\le y\} é equivalente a \{X\ge g^{-1}(y)\}.

Passo 3

Como X é uniformemente distribuída em (0,1), vale
P\bigl(X\ge g^{-1}(y)\bigr)=1 - P\bigl(X<g^{-1}(y)\bigr) =1 - g^{-1}(y).
Então
F_{Y}(y)=1 - g^{-1}(y).

Passo 4

Queremos que Y seja \mathrm{Exp}(1), cuja CDF é
F_{Y}(y)=1 - e^{-y},\quad y\ge0.
Comparando com o passo anterior, obtemos
g^{-1}(y)=e^{-y}.

Passo 5

Invertendo a relação g^{-1}(y)=e^{-y}, chegamos a
g(x) = -\ln(x),
que é estritamente decrescente em (0,1) e transforma X em uma \mathrm{Exp}(1).

Resposta

g(x) = -\ln(x).

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