Considere uma única observação da variável aleatória X sim Binomial(m, theta). Seja l(theta, d)=(theta-d)^2.
(i) Encontre o risco de d(X)=X / m.
(ii) Encontre o risco de Bayes de d(X) em (i), com relação a priori pi(theta)= 1,0 <= 0 <= 1.

Passo 1

O enunciado descreve uma única observação de XsimBinomial(m,theta) e usa loss quadrática l(theta,d)=(theta-d)^2. O estimador proposto é d(X)=X/m. Precisamos (i) calcular o risco R(theta,d) e (ii) calcular o risco de Bayes de d assumindo priori uniforme pi(theta)=1 em [0,1].

Passo 2

Por definição, o risco sob loss quadrática é
R(theta,d)=Ethetal[(d(X)-theta)^2r] =Vartheta(d(X))+l(Etheta[d(X)]-thetar)^2

Passo 3

Como d(X)=X/m, temos
Etheta[d(X)] =1mEtheta[X] =theta,
ou seja, o viés é zero e
R(theta,d) =Varthetal(X/mr) =1m^2,Vartheta(X)

Passo 4

Para XsimBinomial(m,theta) vale Vartheta(X)=mtheta(1-theta). Logo
R(theta,d) =1m^2,mtheta(1-theta) =theta(1-theta)m

Passo 5

O risco de Bayes sob priori uniforme pi(theta)=1 é
r(d) =integral0^1R(theta,d),pi(theta),dtheta =1mintegral0^1theta(1-theta),dtheta =1ml(tfrac12-tfrac13r) =16m

Resposta

(i) R(theta,d)=dfractheta(1-theta)m
(ii) O risco de Bayes é r(d)=dfrac16m

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