Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória de tamanho n da densidade
f(x mid theta)=theta x^theta-1, 0<x<1, theta>0
Vamos assumir para theta a priori gama
pi(theta)=lambda^r theta^r-1 e^-theta lambda / Gamma(r)
onde re lambda são conhecidos. Encontre a distribuição a posteriori de theta e o estimador de Bayes de theta com relação à perda quadrática.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra X1,dots,Xn com densidade
f(xmidtheta)=theta,x^theta-1,0<x<1,
e assume como priori de theta a distribuição Gama de parâmetros r (shape) e lambda (rate):
pi(theta)=lambda^rGamma(r),theta^r-1,e^-lambdatheta,theta>0
O que precisamos é (i) encontrar a distribuição a posteriori de theta e (ii) o estimador de Bayes sob perda quadrática (que é a esperança a posteriori).

Passo 2

Escrevemos a função verossimilhança da amostra e multiplicamos pela priori:
L(theta) =prodi=1^nf(Ximidtheta) =prodi=1^nl[theta,Xi^theta-1r] =theta^n,prodi=1^nXi^,theta-1 =theta^n,expl((theta-1)sumi=1^nln Xir)
Logo, o núcleo da posteriori é
pi(thetamid X)propto L(theta),pi(theta) =theta^n,expl((theta-1)sumi=1^nln Xir) ;times; theta^r-1,e^-lambdatheta

Passo 3

Agrupando potências de theta e exponenciais, obtemos
pi(thetamid X) propto theta^n+r-1 ;exp!l(thetasumi=1^nln Xi-sumi=1^nln Xi-lambdathetar) ;propto; theta^,n+r-1 ;exp!l(-thetal[lambda-sumi=1^nln Xir]r)
Como sumi=1^nln Xi<0, o coeficiente lambda-sumi=1^nln Xi é positivo, e reconhecemos o kernel de uma Gama.

Passo 4

Comparando com a forma
Gamma(alpha,beta)colon theta^alpha-1,e^-betatheta,
vemos que a posteriori é
thetamid X sim Gammal(r+n,;lambda-sumi=1^nln Xir)

Passo 5

Sob perda quadrática, o estimador de Bayes é a esperança a posteriori. Para Gamma(alpha,beta) vale
E[thetamid X] =alphabeta
Assim,
hatthetaB = E[thetamid X] = r+n;lambda-sumi=1^nln Xi;

Resposta

A posteriori é
thetamid X sim Gammal(r+n,;lambda-sumi=1^nln Xir),
e o estimador de Bayes sob perda quadrática é
hatthetaB =r+nlambda-sumi=1^nln Xi

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