Sejam
uma amostra aleatória de tamanho
da densidade
Vamos assumir para
a priori gama
onde re
são conhecidos. Encontre a distribuição a posteriori de
e o estimador de Bayes de
com relação à perda quadrática.
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra
com densidade
e assume como priori de
a distribuição Gama de parâmetros
(shape) e
(rate):
O que precisamos é (i) encontrar a distribuição a posteriori de
e (ii) o estimador de Bayes sob perda quadrática (que é a esperança a posteriori).
Passo 2
Escrevemos a função verossimilhança da amostra e multiplicamos pela priori:
Logo, o núcleo da posteriori é
Passo 3
Agrupando potências de
e exponenciais, obtemos
Como
, o coeficiente
é positivo, e reconhecemos o kernel de uma Gama.
Passo 4
Comparando com a forma
vemos que a posteriori é
Passo 5
Sob perda quadrática, o estimador de Bayes é a esperança a posteriori. Para
vale
Assim,
Resposta
A posteriori é
e o estimador de Bayes sob perda quadrática é