Seja X uma única observação da distribuição U(0, theta), onde theta é uma variável aleatória com densidade
pi(theta)=theta e^-theta, theta>0
(i) Encontre a densidade a posteriori de theta.
(ii) Encontre o estimador de Bayes de theta com respeito à perda quadrática.

Passo 1

O enunciado considera uma única observação X distribuída como U(0,theta) e o parâmetro theta tem priori
pi(theta)=theta e^-theta, theta>0
O conteúdo é estimação bayesiana: primeiro usamos o Teorema de Bayes para obter a densidade a posteriori de theta e depois, sob perda quadrática, sabemos que o estimador de Bayes é a esperança a posteriori.

Passo 2

A função de verossimilhança de uma única observação X=x é
f(xmid theta)= 1theta,&0<= x<= theta, 0,&caso contrário á

Passo 3

Aplicando Bayes, a densidade a posteriori não normalizada é
pi(thetamid x)propto f(xmid theta),pi(theta) =1theta,l(theta e^-thetar),I(theta>= x) =e^-theta,I(theta>= x)

Passo 4

Para normalizar, calculamos
integralx^inftye^-thetadtheta =e^-x
Logo a densidade a posteriori fica
pi(thetamid x) =e^-thetaI(theta>= x)e^-x =e^-(theta-x),I(theta>= x)

Passo 5

Sob perda quadrática, o estimador de Bayes é a esperança a posteriori:
de<a(x)=E[thetamid x] =integralx^inftytheta,e^-(theta-x)dtheta
Fazendo u=theta-x obtemos
E[thetamid x] =integral0^infty(u+x)e^-udu =x+integral0^inftyu,e^-udu =x+1

Resposta

(i) pi(thetamid x)=e^-(theta-x) para theta>= x e zero caso contrário.
(ii) O estimador de Bayes sob perda quadrática é de<a(x)=x+1.

Exercícios de Livros Relacionados