Sejarn
e
variáveis aleatórias com densidade conjunta
. Verifique se
para este caso. (Suponha
e
finitas.)
§3.4
§3.4
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade da linearidade da esperança para duas variáveis aleatórias contínuas
e
com densidade conjunta
. O conteúdo é definição de esperança de função de variáveis contínuas e uso de propriedades de integrais (Fubini e fatoração de constantes).
Passo 2
Pela definição de esperança de uma função de
, temos
Passo 3
Como
e
são constantes, podemos distribuir e retirar cada uma delas para fora da respectiva integral:
Passo 4
Pelas hipóteses de finitude de
e
e pelo teorema de Fubini, reconhecemos cada integral como a esperança das variáveis marginais:
Passo 5
Substituindo na expressão anterior, concluímos