Sejarn X e Y variáveis aleatórias com densidade conjunta f(x, y). Verifique se E(a X+b Y)=a E X+b E Y para este caso. (Suponha E X e E Y finitas.)
§3.4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade da linearidade da esperança para duas variáveis aleatórias contínuas X e Y com densidade conjunta f(x,y). O conteúdo é definição de esperança de função de variáveis contínuas e uso de propriedades de integrais (Fubini e fatoração de constantes).

Passo 2

Pela definição de esperança de uma função de (X,Y), temos
El(aX + bYr) = integral duplaR^2 l(a,x + b,yr),f(x,y),dx,dy

Passo 3

Como a e b são constantes, podemos distribuir e retirar cada uma delas para fora da respectiva integral:
integral duplaR^2 l(a,x + b,yr),f(x,y),dx,dy = a ,integral duplaR^2 x,f(x,y),dx,dy + b ,integral duplaR^2 y,f(x,y),dx,dy

Passo 4

Pelas hipóteses de finitude de EX e EY e pelo teorema de Fubini, reconhecemos cada integral como a esperança das variáveis marginais:
integral duplaR^2 x,f(x,y),dx,dy = EX, integral duplaR^2 y,f(x,y),dx,dy = EY

Passo 5

Substituindo na expressão anterior, concluímos
El(aX + bYr) = a,EX ;+; b,EY

Resposta

E(aX+bY)=a,EX+b,EY.

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