Sejam
e
variáveis aleatórias definidas em um espaço de probabilidade (
). Suponha que os vetores (
) e (
) sejam independentes, que
seja independente de
e que
seja independente de
. Mostre que
e
são coletivamente independentes. Generalize esse resultado para o caso de
vetores aleatórios independentes, cada qual composto de componentes independentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se os vetores
e
são independentes, e além disso
é independente de
e
é independente de
, então as quatro variáveis
são coletivamente independentes.
O conteúdo principal é a definição de independência de variáveis aleatórias:
– Dois vetores e
são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos
, vale
O conteúdo principal é a definição de independência de variáveis aleatórias:
– Dois vetores
– Duas variáveis
e
são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos
,
Usaremos essas propriedades tomando eventos do tipo
.
Passo 2
Considere valores
e defina
Então
Pela independência dos vetores
e
, isso se separa em
Passo 3
Agora, como
e
são independentes,
E como
e
são independentes,
Passo 4
Compondo as igualdades anteriores, obtemos
Essa fatoração para todos
é exatamente a definição de independência coletiva de
.
Passo 5
Generalização para
vetores.
Sejam vetores aleatórios
Sejam
tais que
- os vetores
são mutuamente independentes, - dentro de cada vetor
, as componentes são independentes.
Para mostrar que todas as
componentes são coletivamente independentes, basta repetir o mesmo argumento: tomar eventos produto em cada coordenada, usar a independência dos vetores para separar entre vetores, e dentro de cada vetor usar a independência de suas componentes. O resultado final é que a probabilidade de um evento retangular qualquer na
se fatora em produto das probabilidades marginais de cada componente, isto é, são todas mutuamente independentes.
Resposta
Generalização: a união de componentes de vetores mutuamente independentes, cujas componentes internas também são independentes, forma um conjunto de variáveis aleatórias todas mutuamente independentes.