Sejam X, Y, U e V variáveis aleatórias definidas em um espaço de probabilidade ( Omega triang<= P ). Suponha que os vetores ( X, Y ) e ( U, W ) sejam independentes, que X seja independente de Y e que U seja independente de V. Mostre que X, Y, U e V são coletivamente independentes. Generalize esse resultado para o caso de n vetores aleatórios independentes, cada qual composto de componentes independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se os vetores (X,Y) e (U,V) são independentes, e além disso X é independente de Y e U é independente de V, então as quatro variáveis X,Y,U,V são coletivamente independentes.
O conteúdo principal é a definição de independência de variáveis aleatórias:
– Dois vetores (X,Y) e (U,V) são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos A,BsubsetR^2, vale
Pl((X,Y)in A,,(U,V)in Br) = Pl((X,Y)in Ar);Pl((U,V)in Br)
– Duas variáveis X e Y são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos A1,A2subsetR,
Pl(Xin A1,Yin A2r) = Pl(Xin A1r);Pl(Yin A2r)
Usaremos essas propriedades tomando eventos do tipo (-infty,x].

Passo 2

Considere valores x,y,u,vinR e defina
A = (-infty,x]times(-infty,y], B = (-infty,u]times(-infty,v]
Então
Pl(X<= x,;Y<= y,;U<= u,;V<= vr) = Pl((X,Y)in A,;(U,V)in Br)
Pela independência dos vetores (X,Y) e (U,V), isso se separa em
Pl((X,Y)in Ar); Pl((U,V)in Br) = Pl(X<= x,;Y<= yr); Pl(U<= u,;V<= vr)

Passo 3

Agora, como X e Y são independentes,
Pl(X<= x,;Y<= yr) = Pl(X<= xr);Pl(Y<= yr)
E como U e V são independentes,
Pl(U<= u,;V<= vr) = Pl(U<= ur);Pl(V<= vr)

Passo 4

Compondo as igualdades anteriores, obtemos
Pl(X<= x,;Y<= y,;U<= u,;V<= vr) = Pl(X<= xr);Pl(Y<= yr);Pl(U<= ur);Pl(V<= vr)
Essa fatoração para todos x,y,u,v é exatamente a definição de independência coletiva de X,Y,U,V.

Passo 5

Generalização para n vetores.
Sejam n vetores aleatórios
X1=(X11,dots,X1k1),; X2=(X21,dots,X2k2),;dots,; Xn=(Xn1,dots,Xnkn),
tais que
  1. os vetores X1,dots,Xn são mutuamente independentes,
  2. dentro de cada vetor Xi, as componentes Xi1,dots,Xiki são independentes.
Para mostrar que todas as sumi ki componentes são coletivamente independentes, basta repetir o mesmo argumento: tomar eventos produto em cada coordenada, usar a independência dos vetores para separar entre vetores, e dentro de cada vetor usar a independência de suas componentes. O resultado final é que a probabilidade de um evento retangular qualquer na R^sum ki se fatora em produto das probabilidades marginais de cada componente, isto é, são todas mutuamente independentes.

Resposta

X,Y,U,V são coletivamente independentes.
Generalização: a união de componentes de vetores mutuamente independentes, cujas componentes internas também são independentes, forma um conjunto de variáveis aleatórias todas mutuamente independentes.

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