Demonstre:
Se varphi é uma função característica existe lambda neq 0 tal que varphi(lambda)=1, então a distribuição correspondente a varphi está concentrada nos pontos pm k(2 pilambda), k=0,1, ldots

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, se varphi é a função característica de uma v.a. X e existe lambdaneq0 tal que varphi(lambda)=1, então a lei de X fica concentrada nos pontos
pm kl(2pilambdar), k=0,1,2,dots
O conteúdo chave é usar que varphi(lambda)=E[e^ilambda X]=1 e que, para qualquer variável complexa Z com |Z|=1, ter |E[Z]|=1 força Z a ser degenerate (constante) quase certo.

Passo 2

Como varphi(lambda)=E[e^ilambda X]=1 e l|e^ilambda Xr|=1 para todo X, temos
l|E[e^ilambda X]r| ;<=;El|e^ilambda Xr| ;=;1
Mas como o módulo do valor esperado atinge o máximo possível, é caso de igualdade na desigualdade triangular, o que implica que e^ilambda X é constante quase certo. Como E[e^ilambda X]=1, essa constante só pode ser 1. Logo
e^ilambda X=1as

Passo 3

Da igualdade e^ilambda X=1 a.s. segue
lambda Xin2piZ quase certo,
ou seja
Xin2pilambda,Z as
Isto mostra que a distribuição de X dá peso apenas aos pontos
kl(2pilambdar), kinZ,
ou, reescrevendo como nos pediu o enunciado, aos pontos pm k(2pi/lambda) com k=0,1,2,dots.

Resposta

A distribuição de X está concentrada nos pontos
pm kl(2pilambdar), k=0,1,2,dots

Exercícios de Livros Relacionados