Demonstre:
Se é uma função característica existe tal que , então a distribuição correspondente a está concentrada nos pontos
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se é a função característica de uma v.a. e existe tal que , então a lei de fica concentrada nos pontos
O conteúdo chave é usar que e que, para qualquer variável complexa com , ter força a ser degenerate (constante) quase certo.
Passo 2
Como e para todo X, temos
l|E[e^ilambda X]r| ;<=;El|e^ilambda Xr| ;=;1
Mas como o módulo do valor esperado atinge o máximo possível, é caso de igualdade na desigualdade triangular, o que implica que e^ilambda X é constante quase certo. Como E[e^ilambda X]=1, essa constante só pode ser 1. Logo
e^ilambda X=1as
Passo 3
Da igualdade e^ilambda X=1 a.s. segue
lambda Xin2piZ quase certo,
ou seja
Xin2pilambda,Z as
Isto mostra que a distribuição de X dá peso apenas aos pontos
kl(2pilambdar), kinZ,
ou, reescrevendo como nos pediu o enunciado, aos pontos pm k(2pi/lambda) com k=0,1,2,dots.
Resposta
A distribuição de X está concentrada nos pontos
pm kl(2pilambdar), k=0,1,2,dots
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 6.6.4 - Ex. 9.a