A densidade condicional de Y dado X é dada por
f_{Y \mid X}(y \mid x)=I_{(x, x+1)}(y)
Calcule a marginal de Y e a densidade condicional de X dado Y, se temos f_{X}(x)=I_{(0,1)}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade condicional de Y dado X:
f_{Y\mid X}(y\mid x)=I_{(x,x+1)}(y),
ou seja, f_{Y\mid X}(y\mid x)=1 se y\in(x,x+1) e zero caso contrário. E a densidade marginal de X é
f_X(x)=I_{(0,1)}(x).
Queremos (i) a marginal de Y, usando f_Y(y)=\int f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x)\,dx, e (ii) a condicional de X dado Y pela fórmula de Bayes
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x)}{f_Y(y)}.

Passo 2

Escrevemos a integral para a marginal de Y:
f_Y(y) =\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x)\,dx.
Como f_X(x)=0 fora de (0,1) e f_{Y\mid X}(y\mid x)=0 salvo quando y\in(x,x+1), o integrando é não nulo apenas para
0<x<1 \quad\text{e}\quad x<y<x+1.

Passo 3

As condições 0<x<1 e x<y<x+1 equivalem a
x>\max(0,y-1) \quad\text{e}\quad x<\min(1,y).
Logo o intervalo de integração em x é \bigl(\max(0,y-1),\,\min(1,y)\bigr) e
f_Y(y) =\int_{\max(0,y-1)}^{\min(1,y)}1\,dx =\min(1,y)\;-\;\max(0,y-1),
sempre que esse valor for positivo, e zero caso contrário.

Passo 4

Agora escrevemos f_Y(y) de forma piecewise:
para y<0 ou y>2, o intervalo fica vazio e
f_Y(y)=0.
para 0<y<1, temos \max(0,y-1)=0 e \min(1,y)=y, então
f_Y(y)=y.
para 1\le y<2, temos \max(0,y-1)=y-1 e \min(1,y)=1, então
f_Y(y)=1-(y-1)=2-y.

Passo 5

Para a densidade condicional de X dado Y=y, aplicamos Bayes:
f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x)}{f_Y(y)}.
O numerador vale 1 quando 0<x<1 e y\in(x,x+1), ou seja x\in(\max(0,y-1),\min(1,y)), e zero fora. Portanto, dentro desse intervalo
f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{1}{f_Y(y)},
e fora dele vale zero. Ou seja, X\mid Y=y é uniformemente distribuído em
\bigl(\max(0,y-1),\,\min(1,y)\bigr).

Resposta

A densidade marginal de Y\) é \[f_Y(y)= \begin{cases} 0,&y\le0,\\\ y,&0<y<1,\\\\ 2-y,&1\le y<2,\\\\ 0,&y\ge2. \end{cases}
A condicional de X\] dado \(Y=y é
f_{X\mid Y}(x\mid y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\min(1,y)-\max(0,y-1)},&x\in\bigl(\max(0,y-1),\min(1,y)\bigr),\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

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