A densidade condicional de
dado
é dada por
Calcule a marginal de
e a densidade condicional de
dado
, se temos
.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade condicional de
dado
:
ou seja,
se
e zero caso contrário. E a densidade marginal de
é
Queremos (i) a marginal de
, usando
, e (ii) a condicional de
dado
pela fórmula de Bayes
Passo 2
Escrevemos a integral para a marginal de
:
Como
fora de
e
salvo quando
, o integrando é não nulo apenas para
Passo 3
As condições
e
equivalem a
Logo o intervalo de integração em
é
e
sempre que esse valor for positivo, e zero caso contrário.
Passo 4
Agora escrevemos
de forma piecewise:
para
ou
, o intervalo fica vazio e
para
, temos
e
, então
para
, temos
e
, então
Passo 5
Para a densidade condicional de
dado
, aplicamos Bayes:
O numerador vale 1 quando
e
, ou seja
, e zero fora. Portanto, dentro desse intervalo
e fora dele vale zero. Ou seja,
é uniformemente distribuído em
.
Resposta
A densidade marginal de
A condicional de
é