Para
e
independentes com distribuição Binomial de parâmetros
e
, respectivamente, verifique que:
a. A soma
também segue o modelo Binomial.
b. A distribuição condicional de
, dada a soma
, é Hipergeométrica com parâmetros que não dependem de
.
a. A soma
b. A distribuição condicional de
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes. Precisamos mostrar duas coisas:
. A soma
tem distribuição binomial com parâmetros
.
. A distribuição condicional de
, sabendo que
, é uma Hipergeométrica cujos parâmetros não envolvem
.
Passo 2
Para provar que
, calculamos
pois
e
são independentes. Substituindo as pmf’s binomiais,
Reagrupando as potências de
e de
e usando a identidade de Vandermonde
chegamos a
que é exatamente a pmf de
.
Passo 3
Agora, para a condicional, tomamos
fixo e calculamos
No numerador,
e o denominador é
Cancelando
, obtemos
que é justamente a função de massa de uma distribuição Hipergeométrica com população de tamanho
, número de “sucessos” total
e amostra de tamanho
. Note que não há mais
na expressão.
Resposta
(a)
.
(b) Para ,
(b) Para
ou seja,
é
, sem depender de
.