Para X e Y independentes com distribuição Binomial de parâmetros \left(n_{1}, p\right) e \left(n_{2}, p\right), respectivamente, verifique que:
a. A soma X+Y também segue o modelo Binomial.
b. A distribuição condicional de X, dada a soma X+Y, é Hipergeométrica com parâmetros que não dependem de p.

Passo 1

O enunciado diz que X\sim\mathrm{Bin}(n_{1},p) e Y\sim\mathrm{Bin}(n_{2},p) são independentes. Precisamos mostrar duas coisas:
1. A soma X+Y tem distribuição binomial com parâmetros (n_{1}+n_{2},p).
2. A distribuição condicional de X, sabendo que X+Y=m, é uma Hipergeométrica cujos parâmetros não envolvem p.

Passo 2

Para provar que X+Y\sim\mathrm{Bin}(n_{1}+n_{2},p), calculamos
P(X+Y = k) =\sum_{i=0}^{k}P(X=i)\,P(Y=k-i),
pois X e Y são independentes. Substituindo as pmf’s binomiais,
P(X+Y = k) =\sum_{i=0}^{k}\binom{n_{1}}{i}p^{i}(1-p)^{n_{1}-i}\; \binom{n_{2}}{k-i}p^{\,k-i}(1-p)^{n_{2}-(k-i)}.
Reagrupando as potências de p e de (1-p) e usando a identidade de Vandermonde
\sum_{i=0}^{k}\binom{n_{1}}{i}\binom{n_{2}}{k-i} =\binom{n_{1}+n_{2}}{k},
chegamos a
P(X+Y = k) =\binom{n_{1}+n_{2}}{k}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k},
que é exatamente a pmf de \mathrm{Bin}(n_{1}+n_{2},p).

Passo 3

Agora, para a condicional, tomamos m fixo e calculamos
P(X=x \mid X+Y=m) =\frac{P(X=x,Y=m-x)}{P(X+Y=m)}.
No numerador,
P(X=x,Y=m-x) =\binom{n_{1}}{x}p^{x}(1-p)^{n_{1}-x}\; \binom{n_{2}}{m-x}p^{\,m-x}(1-p)^{n_{2}-(m-x)}
e o denominador é
P(X+Y=m) =\binom{n_{1}+n_{2}}{m}p^{m}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-m}.
Cancelando p^{m}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-m}, obtemos
P(X=x \mid X+Y=m) =\frac{\binom{n_{1}}{x}\,\binom{n_{2}}{m-x}}{\binom{n_{1}+n_{2}}{m}},
que é justamente a função de massa de uma distribuição Hipergeométrica com população de tamanho n_{1}+n_{2}, número de “sucessos” total m e amostra de tamanho n_{1}. Note que não há mais p na expressão.

Resposta

(a) X+Y\sim\mathrm{Bin}(n_{1}+n_{2},p).
(b) Para 0\le x\le m,
P(X=x \mid X+Y=m) =\frac{\binom{n_{1}}{x}\,\binom{n_{2}}{m-x}}{\binom{n_{1}+n_{2}}{m}},
ou seja, X\mid(X+Y=m) é \mathrm{Hyp}\bigl(N=n_{1}+n_{2},K=m,n=n_{1}\bigr), sem depender de p.

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