Discuta a implementação de um procedimento (teste) para verificar se um dado é equilibrado, ou seja, para testar H0: theta1=ldots=theta6 sendo que n lançamentos do dado apresenta ni ocorrência da face i, i=1, ldots, 6. Sendo n=120, n1=23, n2=18, n3=15, n4=21, n5=27 e n6=16, qual sua decisão ao nível de 5 % ?

Passo 1

O enunciado pede um teste para verificar se um dado é equilibrado, isto é, se as probabilidades das seis faces são todas iguais. Esse é um teste de bondade de ajuste (goodness-of-fit) usando o qui-quadrado de Pearson. Temos n=120 lançamentos e contagens observadas ni para cada face i=1,dots,6. Vamos comparar o estatístico
X^2 ;=;sumi=1^6(ni - Ei)^2Ei
com o valor crítico da distribuição chi^2 com k-1=5 graus de liberdade ao nível alpha=5%.

Passo 2

Sob H0:theta1=cdots=theta6, cada face tem probabilidade 1/6, logo a frequência esperada é
Ei ;=; ncdot16 ;=;120cdot16=20,
para todo i.

Passo 3

Calculamos as contribuições de cada face:
(23-20)^220&=0,45, & (18-20)^220&=0,20, (15-20)^220&=1,25, & (21-20)^220&=0,05, (27-20)^220&=2,45, & (16-20)^220&=0,80
Somando,
X^2 =0,45+0,20+1,25+0,05+2,45+0,80=5,20

Passo 4

O número de categorias é k=6, então os graus de liberdade são k-1=5. O valor crítico ao nível alpha=5% é
chi^25,,0.95approx11,07

Passo 5

Como
X^2 =5,20 < 11,07,
não rejeitamos H0 ao nível de 5%. Não há evidência estatística para dizer que o dado seja viciado.

Resposta

Não rejeitar H0; o dado pode ser considerado equilibrado ao nível de 5%.

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