O teste
pareado. Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória bidimensional (
) com distribuição normal bivariada como dada no Exemplo 2.4.4. Mostre que para testar
versus
, o teste da razão de verossimilhanças generalizado apresenta região crítica dada por
onde
e
.
Passo 1
O enunciado trata de uma amostra pareada
de uma normal bivariada com médias
e matriz de covariâncias desconhecida. Queremos testar
Usamos o teste da razão de verossimilhanças (LRT). O truque é passar para as diferenças
pois sob o modelo bivariado cada
é normal i.i.d. com média
e variância
desconhecida.
Passo 2
Escrevemos a verossimilhança dos dados só em função de
e
. Como os
são i.i.d.
, a densidade conjunta é
No modelo completo (
) maximizamos sobre
e
. No modelo restrito (
) fixamos
e maximizamos apenas sobre
.
Passo 3
Sob
os estimadores de máxima verossimilhança são
Sob
temos
e
Passo 4
A razão de verossimilhanças é
Com alguma álgebra nota-se que a única quantidade que decide
é
onde
Portanto rejeitamos
quando
fica abaixo de certo limiar, o que equivale a
Resposta
A região crítica do LRT para testar
é