O teste t pareado. Sejam (X1, Y1), ldots,(Xn, Yn) uma amostra aleatória da variável aleatória bidimensional ( X, Y ) com distribuição normal bivariada como dada no Exemplo 2.4.4. Mostre que para testar H0: mux=muy versus H1: mux neq muy, o teste da razão de verossimilhanças generalizado apresenta região crítica dada por
A^*=d ; raizn|bard|Sd>c
onde bard=sumi=1^n di / n e Sd^2=sumi=1^n(di-bard)^2 /(n-1).

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra pareada (X1,Y1),dots,(Xn,Yn) de uma normal bivariada com médias mux,muy e matriz de covariâncias desconhecida. Queremos testar
H0:mux=muy vs H1:muxneqmuy
Usamos o teste da razão de verossimilhanças (LRT). O truque é passar para as diferenças
di = Xi - Yi,
pois sob o modelo bivariado cada di é normal i.i.d. com média mud = mux-muy e variância sigmad^2 desconhecida.

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança dos dados só em função de mud e sigmad^2. Como os di são i.i.d. N(mud,sigmad^2), a densidade conjunta é
L(mud,sigmad^2) = prodi=1^n 1raiz2pisigmad^2 expl-(di-mud)^22sigmad^2r
No modelo completo ( H1) maximizamos sobre mud e sigmad^2. No modelo restrito ( H0) fixamos mud=0 e maximizamos apenas sobre sigmad^2.

Passo 3

Sob H1 os estimadores de máxima verossimilhança são
hatmud = bar d = 1nsumi=1^n di, hatsigmad^2 = 1nsumi=1^n (di-bar d)^2
Sob H0 temos mud=0 e
hatsigmad,0^2 = 1nsumi=1^n di^2

Passo 4

A razão de verossimilhanças é
Lambda = ,supH0L,,supH1L, = l(hatsigmad^2hatsigmad,0^2r)^n/2 exp!ln2l(1-tfrachatsigmad^2hatsigmad,0^2r)r
Com alguma álgebra nota-se que a única quantidade que decide Lambda é
nbar d^2sumi=1^n(di-bar d)^2 =l(raizn,bar dSdr)^2,
onde
Sd^2 = 1n-1sumi=1^n (di-bar d)^2
Portanto rejeitamos H0 quando Lambda fica abaixo de certo limiar, o que equivale a
raizn,lvertbar drvertSd > c

Resposta

A região crítica do LRT para testar mux=muy é
A^* =l d:raizn,lvertbar drvertSd>cr

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