Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim Poisson(theta1) e sejam Y1, ldots, Ym uma amostra aleatória da variável aleatória Y sim Poisson(theta2) sendo as amostras independentes.
i) Encontre o teste da RVG(aproximado) para testar H0: theta1=theta2 versus H1 : theta1 neq theta2.
ii) Sendo n=5, sum xi=3,8 ; m=8 ; sum yi=4,8, qual a sua conclusão a um nível de significância de 5 % ?

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes: X1,dots,Xnsim Pois l(theta1r) e Y1,dots,Ymsim Pois l(theta2r). Queremos testar
H0:theta1=theta2 versus H1:theta1neqtheta2
Usaremos o Teorema do Limite Central para aproximar a distribuição de bar X - bar Y por uma normal e construir um teste aproximado de nível alpha.

Passo 2

Como sumi=1^nXisimPois(ntheta1) e sumj=1^mYjsimPois(mtheta2), as médias amostrais
bar X=tfrac1nsum Xi e bar Y=tfrac1msum Yj têm, para n,m grandes, distribuição aproximadamente normal:
bar Xapprox Nl(theta1,,tfractheta1nr), bar Yapprox Nl(theta2,,tfractheta2mr)
Sob H0 temos theta1=theta2=theta, logo
bar X-bar Yapprox N!l(0,;thetal(tfrac1n+tfrac1mr)r)

Passo 3

Estimamos theta por hattheta=sumi=1^nXi+sumj=1^mYjn+m
O teste torna-se então
Z ;=; bar X-bar Y raizhatthetal(tfrac1n+tfrac1mr) <=adsto N(0,1)(aprox)
Rejeitamos H0 se lvert Zrvert > z1-alpha/2, onde z1-alpha/2 é o quantil da normal padrão.

Passo 4

Dados: n=5, sum xi=3,8, m=8, sum yi=4,8 e alpha=0,05.
Calculamos
bar X = 3,85=0,76, bar Y = 4,88=0,60, hattheta = 3,8+4,85+8=8,613approx0,6615
Então
Var(bar X-bar Y)approx 0,6615l(tfrac15+tfrac18r) =0,6615times0,325approx0,2150,
raizVar approxraiz0,2150approx0,4637, Z = 0,76-0,600,4637approx0,345
O quantil crítico é z1-0,025approx1,96, e lvert0,345rvert<1,96.

Resposta

Não rejeitamos H0 ao nível de 5%; não há evidência significativa de que theta1neqtheta2.

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