6.1 Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x mid theta)=theta^2 x e^-theta x, x>0, theta>0. Queremos testar H0: theta=1 versus H1: theta=2.
i) Qual é a região crítica se n=5 e alpha=0,05 ?
ii) Se n=1, qual é o teste que minimiza alpha+beta ? E qual o valor de alpha+beta ?

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses simples versus simples para a densidade
f(xmid theta)=theta^2x,e^-theta x, x>0,
testando
H0:theta=1 vs H1:theta=2
Vamos usar o Lema de Neyman–Pearson (NP) para obter a região crítica que, para hipótese simples versus simples, coincide com o teste que maximiza o poder para dado alpha e, no caso n=1, também minimiza alpha+beta.

Passo 2

Para n=5 as observações X1,dots,X5 são iid com
L(theta)=prodi=1^5theta^2Xie^-theta Xi =theta^10l(prodi=1^5Xir)e^-thetasumi=1^5Xi
O teste NP rejeita H0 para valores grandes da razão de verossimilhanças a favor de H1, o que equivale a rejeitar para sumi=1^5Xi grande, escrevendo a região crítica como
C=lsumi=1^5Xi>cr

Passo 3

Sob H0 temos theta=1 e cada XisimGamma(2,1). Logo
T=sumi=1^5XisimGamma(10,1)
Escolhemos c de modo que
PH0(T>c)=0,05
Usando a relação 2Tsimchi^2(20), temos
Pl(chi^2(20)>2cr)=0,05 Longrightarrow 2c=chi^20,95;20approx31,41
e portanto
capprox31,412=15,705

Passo 4

A região crítica para n=5 e alpha=0,05 é
C=lsumi=1^5Xi>15,705r

Passo 5

Para n=1 queremos o teste que minimize alpha+beta. Em hipótese simples versus simples, esse teste é também o teste de NP com limiar k=1, ou seja, rejeitar H0 sempre que
f(xmid2)f(xmid1)>1

Passo 6

Como
f(xmid1)=x,e^-x, f(xmid2)=4x,e^-2x,
temos
4x,e^-2x>x,e^-x ;Long<=ftrightarrow; 4>e^x ;Long<=ftrightarrow; x<ln4
Logo a região crítica para n=1 é
C=,x<ln4

Passo 7

Calculamos
alpha =P1(X<ln4) =1-e^-ln4l(1+ln4r) =1-1+ln44 =34-ln44,
beta =P2(X>=ln4) =e^-2ln4l(1+2ln4r) =1+2ln416,
alpha+beta =34-ln44 +1+2ln416 =13-2ln416approx0,6393

Resposta

i) A região crítica para n=5 e alpha=0,05 é
lsumi=1^5Xi>15,705r
ii) Para n=1, o teste que minimiza alpha+beta rejeita H0 se
X<ln4,
e neste caso
alpha+beta=13-2ln416approx0,6393

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