6.1 Seja
uma variável aleatória com função de densidade
,
. Queremos testar
versus
.
i) Qual é a região crítica se
e
?
ii) Se
, qual é o teste que minimiza
? E qual o valor de
?
i) Qual é a região crítica se
ii) Se
Passo 1
O enunciado pede um teste de hipóteses simples versus simples para a densidade
testando
Vamos usar o Lema de Neyman–Pearson (NP) para obter a região crítica que, para hipótese simples versus simples, coincide com o teste que maximiza o poder para dado
e, no caso
, também minimiza
.
Passo 2
Para
as observações
são iid com
O teste NP rejeita
para valores grandes da razão de verossimilhanças a favor de
, o que equivale a rejeitar para
grande, escrevendo a região crítica como
Passo 3
Sob
temos
e cada
. Logo
Escolhemos
de modo que
Usando a relação
, temos
e portanto
Passo 4
A região crítica para
e
é
Passo 5
Para
queremos o teste que minimize
. Em hipótese simples versus simples, esse teste é também o teste de NP com limiar
, ou seja, rejeitar
sempre que
Passo 6
Como
temos
Logo a região crítica para
é
Passo 7
Calculamos
Resposta
i) A região crítica para
e
é
ii) Para
, o teste que minimiza
rejeita
se
e neste caso