Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim Poisson( theta ).
i) Encontre o teste UMP para testar H0: theta=theta0 versus H1: theta>theta0.
ii) Seja alpha=0,05, faça o gráfico da função poder para theta0=1 e n=25 (use o Teorema do limite central).

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para amostra X1,dots,Xn i.i.d. de XsimPoisson(theta), testando
H0:theta=theta0 versus H1:theta>theta0
O conteúdo envolvido é a construção de um teste UMP (por Lemma de Neyman–Pearson/MLR em família exponencial) e, em seguida, usar o Teorema do Limite Central para aproximar a função poder e traçá-la quando alpha=0,05, theta0=1 e n=25.

Passo 2

A família Poisson pertence à família exponencial com estatística suficiente T=sumi=1^nXi e possui propriedade de razão de verossimilhanças monótona em T para theta. Pelo Teorema de Karlin–Rubin (ou NP para hipótese simples contra alternativa unilaterial), o teste UMP de nível alpha rejeita H0 para valores grandes de
T=sumi=1^nXi

Passo 3

Para garantir nível alpha, escolhe-se um limiar c tal que
Ptheta0l(T>cr)=alpha
Sob H0, TsimPoisson(n,theta0) e pelo CLT
T-ntheta0raizntheta0 ;approx; N(0,1)
Logo, no nível alpha,
capprox n,theta0+z1-alpha,raizn,theta0,
em que z1-alpha é o quantil 1-alpha da normal padrão.

Passo 4

Para theta>theta0, a função poder é
beta(theta) = Pthetal(T>cr) approx 1 - Phi!l(c - nthetaraiznthetar),
já que sob theta temos TsimPoisson(ntheta)approx N(ntheta,ntheta).

Passo 5

Agora alpha=0,05, theta0=1, n=25. Temos ntheta0=25 e z0,95approx1,645, então
c approx 25 + 1,645cdotraiz25 =25 + 1,645cdot5 =25 + 8,225 =33,225
Assim a região crítica é
rejeitar H0 se sumi=1^25Xi > 33,225
E a função poder aproximada fica
beta(theta) approx 1 - Phi!l(33,225 - 25,theta5raizthetar)

Passo 6

Para traçar o gráfico de beta(theta) no eixo horizontal theta (por exemplo de 0 a 3) e no eixo vertical beta:
  • Em theta=1, beta(1)approx1-Phi(1,645)=0,05.
  • Em theta=1,5,
    l(33,225-37,5r)/(5raiz1,5)approx -0,699,
    logo beta(1,5)approxPhi(0,699)approx0,758.
  • Em theta=2, beta(2)approx0,991; em theta>=2,5, beta bem próximo de 1.
O gráfico é a curva contínua e crescente que parte de beta(1)=0,05 e tende a 1 conforme theta cresce.

Resposta

i) O teste UMP de nível alpha rejeita H0 sempre que
sumi=1^nXi > c,
com c dado por capprox ntheta0+z1-alpharaizntheta0.
ii) Para alpha=0,05, theta0=1, n=25 temos
capprox33,225, beta(theta)approx1-Phi!l(33,225-25,theta5raizthetar),
e o gráfico de beta(theta) é uma curva crescente que vale 0,05 em theta=1 e tende a 1 à medida que theta aumenta.

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