Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
Poisson(
).
i) Encontre o teste UMP para testar
versus
.
ii) Seja
, faça o gráfico da função poder para
e
(use o Teorema do limite central).
i) Encontre o teste UMP para testar
ii) Seja
Passo 1
O enunciado pede um teste de hipótese para amostra
i.i.d. de
, testando
O conteúdo envolvido é a construção de um teste UMP (por Lemma de Neyman–Pearson/MLR em família exponencial) e, em seguida, usar o Teorema do Limite Central para aproximar a função poder e traçá-la quando
,
e
.
Passo 2
A família Poisson pertence à família exponencial com estatística suficiente
e possui propriedade de razão de verossimilhanças monótona em
para
. Pelo Teorema de Karlin–Rubin (ou NP para hipótese simples contra alternativa unilaterial), o teste UMP de nível
rejeita
para valores grandes de
Passo 3
Para garantir nível
, escolhe-se um limiar
tal que
Sob
,
e pelo CLT
Logo, no nível
,
em que
é o quantil
da normal padrão.
Passo 4
Para
, a função poder é
já que sob
temos
.
Passo 5
Agora
,
,
. Temos
e
, então
Assim a região crítica é
E a função poder aproximada fica
Passo 6
Para traçar o gráfico de
no eixo horizontal
(por exemplo de
a
) e no eixo vertical
:
- Em
, . - Em
,
,
logo. - Em
, ; em , bem próximo de .
O gráfico é a curva contínua e crescente que parte de
e tende a
conforme
cresce.
Resposta
i) O teste UMP de nível
rejeita
sempre que
com
dado por
.
ii) Para
,
,
temos
e o gráfico de
é uma curva crescente que vale
em
e tende a
à medida que
aumenta.