Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
com f.d.p. dada por
Queremos testar
versus
.
i) Encontre o teste UMP de nível
(se existir).
ii) Se
e
, encontre a região crítica.
i) Encontre o teste UMP de nível
ii) Se
Passo 1
O enunciado dá uma amostra
com densidade
e pede o teste UMP de nível
para
O conteúdo envolve identificar uma família exponencial com razão de verossimilhança monotônica e aplicar o teorema de Karlin–Rubin para obter o teste uniforme mais potente.
Passo 2
Fazemos a reparametrização
. Então
isto é,
. A verossimilhança conjunta é
que é da forma de família exponencial com estatística suficiente
Para dois valores
temos
que é monótona crescente em
. Logo há razão de verossimilhança monótona em
.
Passo 3
Queremos testar em termos de
:
Pelo teorema de Karlin–Rubin, o teste UMP de nível
rejeita
para valores pequenos de
. Equivalentemente definimos
e rejeitamos
quando
onde
é escolhido de modo que sob
com
tenha-se
.
Passo 4
Sob
com
, cada
é
. Então
A função de sobrevivência é
e impõe
para determinar
.
Passo 5
No caso
,
e
. Então
Resolvendo numericamente
obtemos
Logo a região crítica é
Resposta
i) O teste UMP de nível
rejeita
quando
onde
satisfaz
ii) Para
,
,
, a região crítica é