Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X com f.d.p. dada por
f(x mid theta)=1theta x^(1-theta) / theta, 0<x<1, theta>0
Queremos testar H0: theta <= theta0 versus H1: theta>theta0.
i) Encontre o teste UMP de nível alpha (se existir).
ii) Se n=2, theta0=1 e alpha=0,05, encontre a região crítica.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra X1,dots,Xn com densidade
f(xmidtheta)=1theta,x^(1-theta)/theta, 0<x<1,;theta>0,
e pede o teste UMP de nível alpha para
H0:theta<=theta0versus H1:theta>theta0
O conteúdo envolve identificar uma família exponencial com razão de verossimilhança monotônica e aplicar o teorema de Karlin–Rubin para obter o teste uniforme mais potente.

Passo 2

Fazemos a reparametrização eta=1/theta. Então
f(xmideta) =eta,x^eta-1,0<x<1,;eta>0,
isto é, XisimBeta(eta,1). A verossimilhança conjunta é
L(eta) =eta^nprodi=1^n xi^eta-1 =eta^nexpl((eta-1)sumi=1^nln xir),
que é da forma de família exponencial com estatística suficiente
T=sumi=1^nln Xi
Para dois valores eta1>eta2 temos
L(eta1)L(eta2) =l(eta1eta2r)^n expl((eta1-eta2)Tr),
que é monótona crescente em T. Logo há razão de verossimilhança monótona em T.

Passo 3

Queremos testar em termos de eta:
H0:eta>=eta0(eta0=1/theta0) versus H1:eta<eta0
Pelo teorema de Karlin–Rubin, o teste UMP de nível alpha rejeita H0 para valores pequenos de T. Equivalentemente definimos
W=-T=-sumi=1^nln Xi,
e rejeitamos H0 quando
W>= c,
onde c é escolhido de modo que sob H0 com eta=eta0 tenha-se Pr(W>= c)=alpha.

Passo 4

Sob H0 com eta=eta0, cada
Yi=-ln Xi
é Exp(eta0). Então
W=sumi=1^nYisimGammal(n,taxa=eta0r)
A função de sobrevivência é
Pr(W>= c) =1-FW(c) =e^-eta0csumk=0^n-1(eta0c)^kk!,
e impõe e^-eta0csumk=0^n-1(eta0c)^k/k!=alpha para determinar c.

Passo 5

No caso n=2, theta0=1implieseta0=1 e alpha=0,05. Então
WsimGamma(2,1), Pr(W>= c)=e^-c(1+c)=0,05
Resolvendo numericamente (1+c)e^-c=0,05 obtemos
capprox4,74
Logo a região crítica é
W>=4,74 Long<=ftrightarrow -sumi=1^2ln Xi>=4,74 Long<=ftrightarrow X1X2<= e^-4,74approx0,0087

Resposta

i) O teste UMP de nível alpha rejeita H0 quando
-sumi=1^nln Xi>= c,
onde c satisfaz
Prl(Gamma(n,taxa=1/theta0)>= cr)=alpha
ii) Para n=2, theta0=1, alpha=0,05, a região crítica é
-ln X1-ln X2;>=;4,74 Long<=ftrightarrow X1X2<=0,0087

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