Discuta a obtenção dos estimadores de máxima verossimilhança dados em (6.5.5). Suponha que em uma população com três tipos de indivíduos, temos para uma amostra de
indivíduos,
do tipo
do tipo 2 e
do tipo 3 . Verifique ao nível de
se a distribuição dos tipos de indivíduos na população segue o equilíbrio de Hardy-Weinberg.
Passo 1
O enunciado pede para obter o estimador de máxima verossimilhança
dado em (6.5.5) para uma população com três genótipos cujas probabilidades são
e, usando a amostra de tamanho
com
,
,
, verificar ao nível de
se a distribuição segue o equilíbrio de Hardy–Weinberg. Vamos precisar de teoria de máxima verossimilhança para modelo multinomial e teste de aderência qui-quadrado.
Passo 2
Como os contadores
seguem distribuição multinomial com parâmetros
e probabilidades acima, a função verossimilhança em
é
Tomando log-verossimilhança e ignorando termos constantes em
, obtemos
Passo 3
Derivando
em relação a
e igualando a zero,
Esse é o estimador de máxima verossimilhança dado em (6.5.5).
Passo 4
Consequentemente, os estimadores das probabilidades dos genótipos são
Passo 5
Para testar a aderência ao equilíbrio de Hardy–Weinberg definimos
Usamos o teste qui-quadrado de aderência com estatística
graus de liberdade
, e nível
(critério
).
Passo 6
Calculamos numericamente
Os valores esperados são
Então
Passo 7
Como
, não rejeitamos
ao nível de
. Logo, os dados são compatíveis com o equilíbrio de Hardy–Weinberg.
Resposta
Ao nível de
, não se rejeita
; os genótipos observados estão em equilíbrio de Hardy–Weinberg.