Discuta a obtenção dos estimadores de máxima verossimilhança dados em (6.5.5). Suponha que em uma população com três tipos de indivíduos, temos para uma amostra de n=100 indivíduos, n1=26 do tipo 1, n2=47 do tipo 2 e n3=27 do tipo 3 . Verifique ao nível de 5 % se a distribuição dos tipos de indivíduos na população segue o equilíbrio de Hardy-Weinberg.

Passo 1

O enunciado pede para obter o estimador de máxima verossimilhança hat p dado em (6.5.5) para uma população com três genótipos cujas probabilidades são
Pr(1)=p^2, Pr(2)=2p(1-p), Pr(3)=(1-p)^2,
e, usando a amostra de tamanho n=100 com n1=26, n2=47, n3=27, verificar ao nível de 5% se a distribuição segue o equilíbrio de Hardy–Weinberg. Vamos precisar de teoria de máxima verossimilhança para modelo multinomial e teste de aderência qui-quadrado.

Passo 2

Como os contadores n1,n2,n3 seguem distribuição multinomial com parâmetros n e probabilidades acima, a função verossimilhança em p é
L(p)=n!n1!,n2!,n3!,(p^2)^n1,[2p(1-p)]^n2,[(1-p)^2]^n3
Tomando log-verossimilhança e ignorando termos constantes em p, obtemos
ell(p)=2n1ln p ;+; n2[ln2+ln p+ln(1-p)];+;2n3ln(1-p)

Passo 3

Derivando ell(p) em relação a p e igualando a zero,
delldp =2n1+n2p-2n3+n21-p=0 Longrightarrow hat p=2n1+n22n
Esse é o estimador de máxima verossimilhança dado em (6.5.5).

Passo 4

Consequentemente, os estimadores das probabilidades dos genótipos são
hat p1=hat p^2, hat p2=2hat p,(1-hat p), hat p3=(1-hat p)^2

Passo 5

Para testar a aderência ao equilíbrio de Hardy–Weinberg definimos
H0colonos >=nótipos seguem (p^2,,2p(1-p),,(1-p)^2), H1colono modelo não va<= óã
Usamos o teste qui-quadrado de aderência com estatística
chi^2=sumi=1^3(Oi-Ei)^2Ei,
graus de liberdade nu=3-1-1=1, e nível alpha=0,05 (critério chi^20,95,1=3,84).

Passo 6

Calculamos numericamente
hat p=2cdot26+472cdot100=99200=0,495
Os valores esperados são
E1=100,hat p^2=100,(0,495)^2approx24,50, E2=100cdot2hat p(1-hat p)approx49,995, E3=100,(1-hat p)^2approx25,505
Então
chi^2 =(26-24,50)^224,50 +(47-49,995)^249,995 +(27-25,505)^225,505 approx0,36

Passo 7

Como chi^2approx0,36<3,84, não rejeitamos H0 ao nível de 5%. Logo, os dados são compatíveis com o equilíbrio de Hardy–Weinberg.

Resposta

Ao nível de 5%, não se rejeita H0; os genótipos observados estão em equilíbrio de Hardy–Weinberg.

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