Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim exp (theta).
i) Encontre o teste da razão de verossimilhanças generalizada para testar
H0: theta=1 versus H1: theta neq 1
ii) Se você observar n=5 ; x1=0,8 ; x2=1,3 ; x3=1,8 ; x4=0,9 e x5=1,0, qual a sua decisão ao nível de 5 % ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória X1,dots,Xn de uma variável com distribuição exponencial de parâmetro theta, e pede o teste da razão de verossimilhanças generalizada para
H0:theta=1versus H1:thetaneq1
Para resolver vamos precisar de (a) estimar theta por máxima verossimilhança, (b) montar a estatística de razão de verossimilhanças e (c) usar a distribuição de sumi=1^nXi sob H0 para achar a região crítica.

Passo 2

A verossimilhança da amostra é
L(theta)=prodi=1^ntheta,e^-theta xi =theta^n e^-thetasumi=1^n xi
O estimador de máxima verossimilhança de theta é
hattheta =argmaxthetaL(theta) =nsumi=1^n xi
A razão de verossimilhanças vale
Lambda(x) =L(1)L(hattheta) =1^n e^-sum xi l(tfracnsum xir)^n e^-,n =e^,n-sum xil(sum xinr)^!n

Passo 3

O teste rejeita H0 para valores pequenos de Lambda(x). Equivalente é rejeitar quando
T=sumi=1^nXi
é muito grande ou muito pequeno. Sob H0, sumi=1^nXisimGamma(n,1). Em particular 2Tsimchi^22n. Assim a região crítica de nível alpha é
T< c1ou T>c2,
onde
c1=tfrac12,chi^22n,,alpha/2 e c2=tfrac12,chi^22n,,1-alpha/2

Passo 4

Para alpha=0,05 e n=5 achamos os quantis de chi^210:
chi^210,,0,025approx3,86 Rightarrow c1approx3,862=1,93,
chi^210,,0,975approx20,48 Rightarrow c2approx20,482=10,24
Logo a rejeição ocorre se
T<1,93ou T>10,24

Passo 5

Com os dados x1=0,8, x2=1,3, x3=1,8, x4=0,9, x5=1,0 temos
T=sumi=1^5xi=0,8+1,3+1,8+0,9+1,0=5,8
Como 1,93<5,8<10,24, T não cai na região crítica.

Resposta

Não rejeita-se H0 ao nível de 5%.

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