Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
com função de densidade dada por
i) Mostre que o teste mais poderoso para testar
versus
, rejeita
, se e somente se,
, onde
é uma constante.
ii) Sendo
e
, qual a região crítica?
ii) Sendo
Passo 1
O enunciado dá uma amostra
de densidade
e pede o teste mais poderoso para
Vamos usar o Lema de Neyman–Pearson para obter a região de rejeição em termos de
.
Passo 2
Escrevemos as funções de verossimilhança sob
e
:
O quociente de verossimilhança é
Pelo critério de Neyman–Pearson, rejeitamos
para valores pequenos de
, isto é,
onde
é uma constante.
Passo 3
Tomando logaritmo:
Portanto o teste mais poderoso rejeita
se, e somente se,
com
.
Passo 4
Agora, para
, definimos
Sob
, cada
e
. A função distribuição de
é
Queremos
, com
. Logo,
Basta verificar que
satisfaz
Resposta
Para
e
, a região crítica é