Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X com função de densidade dada por
f(x mid theta)=theta x^theta-1, 0<x<1 , theta>0
i) Mostre que o teste mais poderoso para testar H0: theta=1 versus H1: theta=2, rejeita H0, se e somente se, sumi=1^n-log xi <= a, onde a é uma constante.
ii) Sendo n=2 e alpha=(1-log 2) / 2, qual a região crítica?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra X1,dots,Xn de densidade
f(xmidtheta)=theta,x^theta-1,0<x<1, theta>0,
e pede o teste mais poderoso para
H0:theta=1 vs H1:theta=2
Vamos usar o Lema de Neyman–Pearson para obter a região de rejeição em termos de sumi=1^n(-log xi).

Passo 2

Escrevemos as funções de verossimilhança sob H0 e H1:
L(1) =prodi=1^n1cdot xi^1-1 =1, L(2) =prodi=1^n2cdot xi^2-1 =2^nprodi=1^n xi
O quociente de verossimilhança é
Lambda(x) =L(1)L(2) =12^nprodi=1^n xi
Pelo critério de Neyman–Pearson, rejeitamos H0 para valores pequenos de Lambda(x), isto é,
12^nprodi=1^n xi<= k Long<=ftrightarrow prodi=1^n xi>= c,
onde c=1/(2^n k) é uma constante.

Passo 3

Tomando logaritmo:
prodi=1^n xi>= c Long<=ftrightarrow sumi=1^nlog xi>=log c Long<=ftrightarrow sumi=1^n(-log xi)<= -log c
Portanto o teste mais poderoso rejeita H0 se, e somente se,
sumi=1^n(-log xi)<= a,
com a=-log c.

Passo 4

Agora, para n=2, definimos
T=sumi=1^2(-log Xi)
Sob H0, cada -log XisimExp(1) e TsimGamma(2,1). A função distribuição de T é
FT(a) = P(T<= a) =1-e^-a(1+a)
Queremos P(T<= a)=alpha, com alpha=(1-log2)/2. Logo,
1-e^-a(1+a) =1-log22 Long<=ftrightarrow e^-a(1+a) =1-1-log22 =1+log22
Basta verificar que a=log2 satisfaz
e^-log2(1+log2) =12(1+log2) =1+log22

Resposta

Para n=2 e alpha=(1-log2)/2, a região crítica é
(x1,x2)colon -log x1-log x2<=log2 Long<=ftrightarrow x1x2>=tfrac12

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