Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim N(muX, 9) e seja Y1, ldots, Ym uma amostra aleatória da variável aleatória Y sim N(muY, 25), sendo as amostras independentes.
i) Determine o teste da RVG para testar
H0: muX=muY versus H1: muX neq muY
ii) Sendo n=9, sum xi=3,4, m=16, sum yi=4,3. Qual a sua conclusão a um nível de significância de 5 % ?

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de distribuições normais com variâncias conhecidas:
X1,dots,Xnsim N(muX,9) com tamanho n.
Y1,dots,Ymsim N(muY,25) com tamanho m.
Queremos testar
H0:muX=muY versus H1:muXneqmuY
Esse é um teste de duas médias com variâncias conhecidas, usando a distribuição normal padrão (teste Z).

Passo 2

Definimos a estatística de teste como a diferença de médias padronizada:
Z = overline X-overline Y - 0 raiz9n+25m
onde overline X e overline Y são as médias amostrais. Sob H0, Zsim N(0,1).

Passo 3

Para nível de significância alpha=5% (teste bilateral), o valor crítico é
z1-alpha/2 = z0,975 approx 1,96
Rejeitamos H0 se
|Z|>1,96

Passo 4

Com os dados: n=9, sum xi=3,4 e m=16, sum yi=4,3. Calculamos
overline X = 3,49 approx 0,378, overline Y = 4,316 approx 0,269
O erro padrão da diferença é
raiz99+2516 =raiz1+1,5625 =raiz2,5625 =1,6
Logo,
Z = 0,378 - 0,2691,6 approx 0,1091,6 approx 0,068

Passo 5

Como |Z|approx0,068 < 1,96, não rejeitamos H0. Não há evidência suficiente, a 5%, de que muXneqmuY.

Resposta

Não rejeitamos H0. Concluímos que não há diferença significativa entre muX e muY ao nível de 5%.

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