Sejam
e
variáveis aleatórias tais que
e
Yn xrightarrowP c , onde
c é constante. Mostre que
YnXn xrightarrowD cX .
Passo 1
O enunciado diz que temos variáveis aleatórias
Xn e
Yn tais que
-
eXn xrightarrowD X ,P(Xn=0)=0=P(X=0) -
, ondeYn xrightarrowP c é constante.c
Queremos mostrar que
Para isso vamos usar dois resultados clássicos: o Teorema do Mapeamento Contínuo (Continuous Mapping Theorem) e o Teorema de Slutsky.
Passo 2
Primeiro aplicamos o Teorema do Mapeamento Contínuo à sequência
Xn . Considere a função
Ela é contínua em todo ponto
xneq 0 . Como
P(X=0)=0 , o parêntese de continuidade de
g tem probabilidade 1. Logo, por mapeamento contínuo,
Passo 3
Agora usamos o Teorema de Slutsky, que diz: se
An xrightarrowD A e
Bn xrightarrowP b (constante), então
Tomemos
An = tfrac1Xn , que sabemos convergir em distribuição para
1/X , e
Bn = Yn , que converge em probabilidade para
c . Assim