Sejam X, X1, X2, ldots e Y1, Y2, ldots variáveis aleatórias tais que P(Xn=0)=0=P(X=0), Xn xrightarrowD X e Yn xrightarrowP c, onde c é constante. Mostre que YnXn xrightarrowD cX.

Passo 1

O enunciado diz que temos variáveis aleatórias Xn e Yn tais que
  1. Xn xrightarrowD X e P(Xn=0)=0=P(X=0),
  2. Yn xrightarrowP c, onde c é constante.
    Queremos mostrar que
YnXn;xrightarrowD;cX
Para isso vamos usar dois resultados clássicos: o Teorema do Mapeamento Contínuo (Continuous Mapping Theorem) e o Teorema de Slutsky.

Passo 2

Primeiro aplicamos o Teorema do Mapeamento Contínuo à sequência Xn. Considere a função
g(x) = 1x
Ela é contínua em todo ponto xneq 0. Como P(X=0)=0, o parêntese de continuidade de g tem probabilidade 1. Logo, por mapeamento contínuo,
g(Xn)=1Xn longrightarrowD g(X)=1X

Passo 3

Agora usamos o Teorema de Slutsky, que diz: se An xrightarrowD A e Bn xrightarrowP b (constante), então
An,Bn ;xrightarrowD; b,A
Tomemos An = tfrac1Xn, que sabemos convergir em distribuição para 1/X, e Bn = Yn, que converge em probabilidade para c. Assim
An,Bn = 1Xn,Yn = YnXn longrightarrowD c;1X = cX

Resposta

YnXn;xrightarrowD;cX

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