1. Seja F(x, y)=\left[1-e^{-(x+1)}-e^{-y}+e^{-(x+y+1)}\right] I_{(-1, \infty)}(x) I_{(0, \infty)}(y) a função de distribuição conjunta das variáveis X e Y.
    a. Obtenha E(X+Y) de duas maneiras diferentes.
    b. Calcule E(X Y).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição conjunta
F(x,y)=\bigl[1 - e^{-(x+1)} - e^{-y} + e^{-(x+y+1)}\bigr]\;I_{(-1,\infty)}(x)\;I_{(0,\infty)}(y)
e pede (a) E(X+Y) por dois métodos distintos e (b) E(XY). Vamos usar cálculo de densidade conjunta, independência, e integrais para expectativas.

Passo 2

Derivamos a densidade conjunta por
f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}F(x,y).
Como
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}F = e^{-(x+1)} - e^{-(x+y+1)}
e daí
\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}F = e^{-(x+y+1)}.
Logo, para x>-1 e y>0,
f(x,y)=e^{-(x+y+1)},
e vale zero fora desse suporte.

Passo 3

Note que
f(x,y)=e^{-(x+1)}\;\cdot e^{-y}
fatora em função de x só vezes função de y só. Assim X e Y são independentes, com marginais
f_X(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-(x+y+1)}\,dy=e^{-(x+1)},\quad x>-1,
f_Y(y)=\int_{-1}^{\infty}e^{-(x+y+1)}\,dx=e^{-y},\quad y>0.
Reconhecemos X+1\sim\mathrm{Exp}(1) e Y\sim\mathrm{Exp}(1).

Passo 4

Calculemos E(X) e E(Y) a partir das marginais. Para U=X+1 exponencial de parâmetro 1 temos E(U)=1, logo
E(X)=E(U)-1=0.
Para Y\sim\mathrm{Exp}(1) vale
E(Y)=1.

Passo 5

Primeiro método para E(X+Y): pela linearidade da esperança e independência,
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+1=1.

Passo 6

Segundo método para E(X+Y): calcular direto
E(X+Y) =\int_{x=-1}^{\infty}\int_{y=0}^{\infty}(x+y)\,e^{-(x+y+1)}\,dy\,dx.
Separe em duas integrais:
I_1=\int_{-1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x\,e^{-(x+y+1)}\,dy\,dx =\int_{-1}^{\infty}x\,e^{-(x+1)}\Bigl[\int_{0}^{\infty}e^{-y}dy\Bigr]dx =\int_{-1}^{\infty}x\,e^{-(x+1)}dx.
Fazendo a mudança u=x+1 obtemos \int_{0}^{\infty}(u-1)e^{-u}du=E(U)-1=0.
I_2=\int_{-1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-(x+y+1)}\,dy\,dx =\Bigl[\int_{-1}^{\infty}e^{-(x+1)}dx\Bigr]\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y}dy =1\cdot1=1.
Logo E(X+Y)=I_1+I_2=0+1=1, mesmo resultado.

Passo 7

Para E(XY) há também duas vias rápidas. Como são independentes,
E(XY)=E(X)\,E(Y)=0\cdot1=0.
Ou, direto,
E(XY)=\int_{-1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x\,y\,e^{-(x+y+1)}\,dy\,dx =E(X)\,E(Y)=0.

Resposta

a. E(X+Y)=1 (obtido por E(X)+E(Y) ou por \iint (x+y)f(x,y)\,dx\,dy).
b. E(XY)=0.

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