- Seja
a função de distribuição conjunta das variáveis
e
.
a. Obtenha
de duas maneiras diferentes.
b. Calcule
.
a. Obtenha
b. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição conjunta
e pede (a)
por dois métodos distintos e (b)
. Vamos usar cálculo de densidade conjunta, independência, e integrais para expectativas.
Passo 2
Derivamos a densidade conjunta por
Como
e daí
.
Logo, para e
,
e daí
Logo, para
e vale zero fora desse suporte.
Passo 3
Note que
fatora em função de
só vezes função de
só. Assim
e
são independentes, com marginais
Reconhecemos
e
.
Passo 4
Calculemos
e
a partir das marginais. Para
exponencial de parâmetro 1 temos
, logo
Para
vale
Passo 5
Primeiro método para
: pela linearidade da esperança e independência,
Passo 6
Segundo método para
: calcular direto
Separe em duas integrais:
Fazendo a mudança
obtemos
.
Logo
, mesmo resultado.
Passo 7
Para
há também duas vias rápidas. Como são independentes,
Ou, direto,
Resposta
a.
(obtido por
ou por
).
b. .
b.