Sejam X1, X2, ldots independentes e identicamente distribuidas tais que Xn sim U[0, theta], onde theta>0. Demonstre que Yn= =raiznlog (2 barXn)-log theta converge em distribuição para a N(0, 13), onde barXn=X1+ldots+Xnn.

Passo 1

O enunciado diz que X1,X2,dots são i.i.d. com distribuição uniforme em [0,theta], theta>0, e define
Yn=raiznllog(2bar Xn)-logthetar,
onde bar Xn=(X1+cdots+Xn)/n. Precisamos mostrar que Yn converge em distribuição para N(0,1/3). O método será usar o Teorema do Limite Central em bar Xn e depois o Método Delta na função g(u)=log u.

Passo 2

Calculemos a média e a variância de Xi. Para Xisim U[0,theta] vale
E(Xi)=theta2, Var(Xi)=theta^212
Pelo Teorema do Limite Central,
raiznl(bar Xn-tfractheta2r) xrightarrowd Nl(0,tfractheta^212r)

Passo 3

Definamos Un=2bar Xn. Então
raizn(Un-theta) =2,raiznl(bar Xn-tfractheta2r) xrightarrowd Nl(0,;4cdottfractheta^212r) = Nl(0,tfractheta^23r)

Passo 4

Aplicamos o Método Delta na função g(u)=log u, cuja derivada em u=theta é g'(theta)=1/theta. Pelo Método Delta,
raiznl(g(Un)-g(theta)r) =raiznl(log(Un)-logthetar) xrightarrowd Nl(0,l(g'(theta)r)^2cdottheta^23r) =Nl(0,1theta^2cdottheta^23r) =Nl(0,tfrac13r)
Como g(Un)=log(2bar Xn), isso mostra exatamente que
raiznlog(2bar Xn)-logthetaxrightarrowdN(0,1/3).

Resposta

YnxrightarrowdNl(0,tfrac13r).

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