Um jogador vai lançando uma moeda honesta. Ele pára depois de lançar ou duas caras sucessivas ou duas coroas sucessivas.
Qual a esperança do número de lançamentos?

Passo 1

O enunciado pede a esperança do número de lançamentos de uma moeda honesta até aparecer ou duas caras sucessivas ou duas coroas sucessivas. O conteúdo envolve cadeias de Markov simples (ou condicionamento passo a passo) e resolveráo de equações lineares para expectativas condicionais.

Passo 2

Definimos três expectativas condicionais:
ES: esperança a partir do estado inicial (sem histórico).
EH: esperança dado que o último lançamento foi cara (e ainda não paramos).
ET: esperança dado que o último lançamento foi coroa (e ainda não paramos).

Passo 3

Ao iniciar (estado S), fazemos um lançamento e avançamos para H com probabilidade 1/2 ou para T com probabilidade 1/2. Logo,
ES = 1 + tfrac12,EH + tfrac12,ET

Passo 4

Se estamos em H, ao lançar vamos ter duas caras sucessivas (e parar) com probabilidade 1/2, ou mudar para T com probabilidade 1/2. Assim,
EH = 1 + tfrac12cdot 0 + tfrac12,ET = 1 + tfrac12,ET
De modo análogo, em T obtemos
ET = 1 + tfrac12,EH + tfrac12cdot 0 = 1 + tfrac12,EH

Passo 5

Resolvendo o sistema
EH = 1 + tfrac12,ET, ET = 1 + tfrac12,EH,
substituímos EH na segunda:
ET = 1 + tfrac12l(1 + tfrac12,ETr) = 1 + tfrac12 + tfrac14,ET ;Longrightarrow; tfrac34,ET = tfrac32 ;Longrightarrow; ET = 2
Então EH = 1 + tfrac12cdot 2 = 2.

Passo 6

Finalmente, voltando ao estado inicial:
ES = 1 + tfrac12cdot 2 + tfrac12cdot 2 = 1 + 2 = 3

Resposta

A esperança do número de lançamentos é 3.

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