Um jogador vai lançando uma moeda honesta. Ele pára depois de lançar ou duas caras sucessivas ou duas coroas sucessivas.
Qual a esperança do número de lançamentos?
Passo 1
O enunciado pede a esperança do número de lançamentos de uma moeda honesta até aparecer ou duas caras sucessivas ou duas coroas sucessivas. O conteúdo envolve cadeias de Markov simples (ou condicionamento passo a passo) e resolveráo de equações lineares para expectativas condicionais.
Passo 2
Definimos três expectativas condicionais:
– : esperança a partir do estado inicial (sem histórico).
– : esperança dado que o último lançamento foi cara (e ainda não paramos).
– : esperança dado que o último lançamento foi coroa (e ainda não paramos).
–
–
–
Passo 3
Ao iniciar (estado
), fazemos um lançamento e avançamos para
com probabilidade
ou para
com probabilidade
. Logo,
Passo 4
Se estamos em
, ao lançar vamos ter duas caras sucessivas (e parar) com probabilidade
, ou mudar para
com probabilidade
. Assim,
De modo análogo, em
obtemos
Passo 5
Resolvendo o sistema
substituímos
na segunda:
Então
.
Passo 6
Finalmente, voltando ao estado inicial:
Resposta
A esperança do número de lançamentos é
.