Seja X uma variável aleatória tendo distribuição b(n, p). Mostre que X tem a mesma distribuição que X1+ldots+Xn, onde as Xi são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas que assumem apenas os valores 0 e 1 . (Qual é P(Xi=1) ?) Utilize esse resultado para calcular a esperança e a variância de X.

Passo 1

O enunciado afirma que Xsim b(n,p), ou seja
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^,n-k, k=0,1,dots,n
Queremos mostrar que essa mesma lei de probabilidade surge ao somar n variáveis independentes X1,dots,Xn, cada uma assumindo apenas os valores 0 e 1. A estratégia será (i) definir cada Xi como Bernoulli de parâmetro p, (ii) calcular a distribuição de S=X1+cdots+Xn por contagem de ocorrências de 1, e depois usar essa representação para obter E[X] e Var(X).

Passo 2

Definimos cada Xi de modo que
P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p
Logo cada Xi é uma variável aleatória Bernoulli de parâmetro p.

Passo 3

Como as são independentes, para temos
Para somar exatamente uns e zeros há escolhas, e cada escolha tem probabilidade . Assim
que coincide com a massa de probabilidade de . Concluímos que e têm a mesma distribuição.

Passo 4

Pela representação X=S=X1+cdots+Xn e pela linearidade da esperança,
E[X] =E[S] =sumi=1^nE[Xi] =ncdot p,
pois E[Xi]=1cdot p+0cdot(1-p)=p.

Passo 5

As Xi são independentes, logo
Var(X) =Var(S) =sumi=1^nVar(Xi)
Cada Bernoulli satisfaz Var(Xi)=p(1-p), então
Var(X) =n,p(1-p)

Resposta

P(Xi=1)=p, E[X]=np, Var(X)=np(1-p)

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