Seja
uma variável aleatória tendo distribuição
. Mostre que
tem a mesma distribuição que
, onde as
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas que assumem apenas os valores 0 e 1 . (Qual é
?) Utilize esse resultado para calcular a esperança e a variância de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
, ou seja
Queremos mostrar que essa mesma lei de probabilidade surge ao somar
variáveis independentes
, cada uma assumindo apenas os valores 0 e 1. A estratégia será (i) definir cada
como Bernoulli de parâmetro
, (ii) calcular a distribuição de
por contagem de ocorrências de 1, e depois usar essa representação para obter
e
.
Passo 2
Definimos cada
de modo que
Logo cada
é uma variável aleatória Bernoulli de parâmetro
.
Passo 3
Como as
são independentes, para
temos
Para somar exatamente
uns e
zeros há
escolhas, e cada escolha tem probabilidade
. Assim
que coincide com a massa de probabilidade de
. Concluímos que
e
têm a mesma distribuição.
Passo 4
Pela representação
e pela linearidade da esperança,
pois
.
Passo 5
As
são independentes, logo
Cada Bernoulli satisfaz
, então