- Numa loteria, 100 números participam do sorteio. São dados prêmios iguais de R$ 1 mil a todos os bilhetes com número pelo menos igual ao sorteado. Para que, em média, o custo dos prêmios seja financiado pelo dinheiro arrecadado com os bilhetes, qual deve ser o preço de cada um deles?
Passo 1
O enunciado descreve uma loteria com
números e sorteio de um único número
igualmente provável em
. Todo bilhete cujo número seja pelo menos igual ao sorteado recebe um prêmio de R$
. Queremos determinar o preço
de cada bilhete de modo que, em média, a receita com a venda de
bilhetes cubra o custo esperado dos prêmios. O conteúdo utilizado é o cálculo de esperança para variáveis discretas.
Passo 2
Para um valor fixo
sorteado, os bilhetes vencedores são aqueles com números
. Portanto, o número de vencedores é
e o custo total de prêmios, dado
, é
Passo 3
Como
é uniforme em
, sua esperança é
Logo, a esperança do custo é
Passo 4
Se cada bilhete custa
, a receita total é
. Para que a receita esperada iguale o custo esperado, impomos
Resposta
O preço de cada bilhete deve ser R$
.