1. Numa loteria, 100 números participam do sorteio. São dados prêmios iguais de R$ 1 mil a todos os bilhetes com número pelo menos igual ao sorteado. Para que, em média, o custo dos prêmios seja financiado pelo dinheiro arrecadado com os bilhetes, qual deve ser o preço de cada um deles?

Passo 1

O enunciado descreve uma loteria com 100 números e sorteio de um único número K igualmente provável em \{1,2,\dots,100\}. Todo bilhete cujo número seja pelo menos igual ao sorteado recebe um prêmio de R$ 1000. Queremos determinar o preço p de cada bilhete de modo que, em média, a receita com a venda de 100 bilhetes cubra o custo esperado dos prêmios. O conteúdo utilizado é o cálculo de esperança para variáveis discretas.

Passo 2

Para um valor fixo k sorteado, os bilhetes vencedores são aqueles com números k,k+1,\dots,100. Portanto, o número de vencedores é
101 - k
e o custo total de prêmios, dado K=k, é
C\mid_{K=k} \;=\;(101 - k)\times 1000.

Passo 3

Como K é uniforme em \{1,\dots,100\}, sua esperança é
E[K] \;=\;\frac{1+100}{2} \;=\;50,5.
Logo, a esperança do custo é
E[C] \;=\;E\bigl[(101-K)\times1000\bigr] \;=\;1000\,E[101-K] \;=\;1000\bigl(101 - E[K]\bigr) \;=\;1000\bigl(101 - 50,5\bigr) \;=\;1000\times50,5 \;=\;50500.

Passo 4

Se cada bilhete custa p, a receita total é 100p. Para que a receita esperada iguale o custo esperado, impomos
100p \;=\;50500 \quad\Longrightarrow\quad p \;=\;\frac{50500}{100} \;=\;505.

Resposta

O preço de cada bilhete deve ser R$ 505.

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