1. Sejam X_{1}, X_{2}, \cdots variáveis aleatórias independentes com valores -1 e 1 , com probabilidades n / n+1 e 1 / n+1, respectivamente. Determine E\left[(-1)^{\sum_{i=1}^{k} X_{i}}\right], para k inteiro.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},X_{2},\dots são variáveis independentes que valem -1 ou 1, com
P\bigl(X_i=-1\bigr)=\frac{i}{i+1},\qquad P\bigl(X_i=1\bigr)=\frac{1}{i+1}.
Queremos calcular
E\bigl[(-1)^{\sum_{i=1}^k X_i}\bigr].

Passo 2

Note que para quaisquer inteiros a,b vale
(-1)^{a+b}=(-1)^a\cdot(-1)^b.
Pelo mesmo motivo,
(-1)^{\sum_{i=1}^k X_i} =\prod_{i=1}^k(-1)^{X_i}.

Passo 3

Para cada i, seja Y_i = (-1)^{X_i}. Se X_i=1, então
(-1)^{1}=-1,
e se X_i=-1, então
(-1)^{-1}=\frac1{-1}=-1.
Logo, em qualquer caso Y_i=-1 com probabilidade 1.

Passo 4

Como cada Y_i=-1 sempre, a produto
(-1)^{\sum_{i=1}^k X_i} =\prod_{i=1}^k Y_i =(-1)\times(-1)\times\cdots\times(-1) =(-1)^k
é determinístico. Então
E\bigl[(-1)^{\sum_{i=1}^k X_i}\bigr] =(-1)^k.

Resposta

(-1)^k.

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