Um modelo genético para a distribuição dos tipos de sangue
e 4 , especifica as proporções
e
. Uma amostra de
indivíduos da população apresenta
e
. Verifique se os dados obtidos suportam o modelo genético acima para a distribuição dos tipos de sangue na população de onde foi selecionada a amostra.
Passo 1
O enunciado apresenta um modelo paramétrico para as proporções dos tipos sanguíneos 1, 2, 3 e 4 na população, dado por
e uma amostra multinomial de tamanho
com contagens
,
,
,
.
O objetivo é verificar se os dados suportam esse modelo, ou seja, fazer um teste de aderência qui-quadrado estimando o parâmetro por máxima verossimilhança, computar as frequências esperadas e comparar o qui-quadrado observado com o valor crítico para
graus de liberdade.
O objetivo é verificar se os dados suportam esse modelo, ou seja, fazer um teste de aderência qui-quadrado estimando o parâmetro
Passo 2
Precisamos da estimativa de máxima verossimilhança
. A função de verossimilhança (até constante) é
e o log-L é
Derivando em relação a
e igualando a zero, obtemos a equação
Substituindo
,
,
e resolvendo numericamente em
, achamos
Passo 3
Com
calculamos as frequências esperadas
:
Passo 4
Calculamos o qui-quadrado de aderência
Temos
. Para
, o crítico é
. Como
, não rejeitamos
.
Resposta
Os dados são compatíveis com o modelo genético de acordo com o teste de qui-quadrado (
,
,
-valor
).