Um modelo genético para a distribuição dos tipos de sangue 1,2,3 e 4 , especifica as proporções theta1=p(1 ; theta)=(2+theta) / 4, theta2=p(2 ; theta)=(1-theta) / 4= theta3=p(3 ; theta) e theta4=p(4 ; theta)=theta / 4. Uma amostra de n=100 indivíduos da população apresenta n1=65, n2=6, n3=8 e n4=21. Verifique se os dados obtidos suportam o modelo genético acima para a distribuição dos tipos de sangue na população de onde foi selecionada a amostra.

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo paramétrico para as proporções dos tipos sanguíneos 1, 2, 3 e 4 na população, dado por
theta1=p(1;theta)=2+theta4, theta2=p(2;theta)=1-theta4, theta3=p(3;theta)=1-theta4, theta4=p(4;theta)=theta4,
e uma amostra multinomial de tamanho n=100 com contagens n1=65, n2=6, n3=8, n4=21.
O objetivo é verificar se os dados suportam esse modelo, ou seja, fazer um teste de aderência qui-quadrado estimando o parâmetro theta por máxima verossimilhança, computar as frequências esperadas e comparar o qui-quadrado observado com o valor crítico para 4-1-1=2 graus de liberdade.

Passo 2

Precisamos da estimativa de máxima verossimilhança widehattheta. A função de verossimilhança (até constante) é
L(theta)propto theta1^,n1 theta2^,n2 theta3^,n3 theta4^,n4
e o log-L é
ell(theta)=n1lnl(2+thetar) +(n2+n3)lnl(1-thetar) +n4lntheta;-;nln4
Derivando em relação a theta e igualando a zero, obtemos a equação
n12+theta-n2+n31-theta+n4theta=0
Substituindo n1=65, n2+n3=14, n4=21 e resolvendo numericamente em thetain(0,1), achamos
widehatthetaapprox0,733

Passo 3

Com widehattheta=0,733 calculamos as frequências esperadas Ei=n,thetai(widehattheta):
E1=100cdot2+0,7334=68,325, E2=E3=100cdot1-0,7334=6,675, E4=100cdot0,7334=18,325

Passo 4

Calculamos o qui-quadrado de aderência
X^2=sumi=1^4(ni-Ei)^2Ei =(65-68,325)^268,325 +(6-6,675)^26,675 +(8-6,675)^26,675 +(21-18,325)^218,325 approx0,88
Temos df=4-1-1=2. Para alpha=0,05, o crítico é chi^20,05,2=5,99. Como 0,88<5,99, não rejeitamos H0.

Resposta

Os dados são compatíveis com o modelo genético de acordo com o teste de qui-quadrado ( X^2approx0,88, df=2, p-valor approx0,64).

Exercícios de Livros Relacionados