Seja X uma única observação da função de densidade
f(x mid theta)=(2 theta x+1-theta) I(0,1)(x)
Queremos testar H0: theta=0 versus H1: theta=1.
i) Obtenha o teste mais poderoso com nível de significância alpha.
ii) Se alpha=0,05 e x=0,8, qual a sua conclusão?

Passo 1

O enunciado fornece uma única observação X com densidade
f(xmid theta) = l(2theta x + 1 - thetar),I(0,1)(x)
e pede um teste de hipóteses simples
H0:theta=0 vs H1:theta=1
O conteúdo necessário é o Lema de Neyman–Pearson para hipóteses simples, que diz que o teste mais poderoso de nível alpha rejeita H0 quando a razão de verossimilhanças ultrapassa um certo limiar.

Passo 2

Calculemos a razão de verossimilhanças
lambda(x) = f(xmid 1)f(xmid 0) = 2cdot1cdot x + 1 - 11 = 2x,
para xin(0,1). Pelo Lema de Neyman–Pearson, rejeitamos H0 se
lambda(x) > k ;Long<=ftrightarrow; 2x > k ;Long<=ftrightarrow; x > k2

Passo 3

Para obter um teste de nível alpha, escolhe-se a região crítica R = x > d de modo que
P0(X > d) = alpha
Sob H0, XsimUniform(0,1), logo
P0(X > d) = 1 - d = alpha ;Longrightarrow; d = 1 - alpha
Portanto, o teste mais poderoso de nível alpha é
phi(x) = 1, & x > 1 - alpha, 0, & x <= 1 - alpha

Passo 4

Agora, se alpha=0,05 então o limiar é d = 1 - 0,05 = 0,95. Dado x=0,8, temos 0,8 <= 0,95, logo x não cai na região crítica. Em outras palavras, não rejeitamos H0.

Resposta

i) O teste de nível alpha rejeita H0 se
x > 1 - alpha
ii) Para alpha=0,05 rejeitamos quando x>0,95; como x=0,8<=0,95, não rejeitamos H0.

Exercícios de Livros Relacionados