Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
e sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
sendo as amostras independentes.
i) Determine o teste mais poderoso para testar
ii) Sendo
. Qual a sua conclusão ao nível de significância de
? E qual o poder do teste?
i) Determine o teste mais poderoso para testar
Passo 1
O enunciado nos dá duas amostras independentes:
– de
– de
e pede o teste mais poderoso para
–
–
e pede o teste mais poderoso para
O conteúdo é o Lema de Neyman–Pearson para hipóteses simples versus simples. Precisaremos da razão de verossimilhança e do cálculo de quantis de normal.
Passo 2
Escrevemos a razão de verossimilhança
Para
temos
para
Subtraindo os logs em
e em
obtém-se
que é monotônico em
Pelo Lema de Neyman–Pearson rejeitamos
para
.
Sob
:
e
, logo
Em nível
,
, com
o quantil da normal padrão.
Passo 3
Agora
,
,
,
.
Calculamos
Calculamos
e
Para
,
, então
Como
, não rejeitamos
a
.
Passo 4
Para o poder, sob
temos
e
.
Então
Então
Resposta
Não rejeita-se
a
.
O poder do teste é aproximadamente .
O poder do teste é aproximadamente