Há 20 pontos A, B, \ldots num dado plano, sem que haja quaisquer 3 colineares.
(a) Quantas retas podemos formar com estes pontos?
(b) Quantas retas passam pelo ponto A ?
(c) Quantos triângulos são determinados por estes pontos?
(d) Quantos triângulos contêm o ponto A como vértice?

Passo 1

O enunciado dá 20 pontos num plano, sem que haja três colineares, e pede:
(a) quantas retas podemos formar;
(b) quantas retas passam por A;
(c) quantos triângulos são determinados por estes pontos;
(d) quantos desses triângulos têm A como vértice.
Vamos usar combinatória básica, lembrando que cada par de pontos define uma reta única e cada trio não colinear define um triângulo.

Passo 2

Para (a), cada reta é determinada por um par de pontos distintos. Como não existem três colineares, cada par gera uma reta diferente. O número de pares em um conjunto de 20 elementos é
\binom{20}{2} .
Calculando:
\binom{20}{2} = \frac{20\cdot19}{2} = 190.

Passo 3

Para (b), uma reta que passe por A é formada por A e mais um dos outros 19 pontos. Logo, o número de tais retas é
\binom{19}{1} = 19.

Passo 4

Para (c), cada triângulo é determinado por um conjunto de 3 pontos não colineares. Como não há três colineares, qualquer escolha de três pontos forma um triângulo. O total é
\binom{20}{3}.
Calculando:
\binom{20}{3} = \frac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140.

Passo 5

Para (d), um triângulo que tenha A como vértice é formado por A e mais dois pontos dentre os 19 restantes. Então o número é
\binom{19}{2}.
Calculando:
\binom{19}{2} = \frac{19\cdot18}{2} = 171.

Resposta

(a) 190
(b) 19
(c) 1140
(d) 171

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