Há 20 pontos
num dado plano, sem que haja quaisquer 3 colineares.
(a) Quantas retas podemos formar com estes pontos?
(b) Quantas retas passam pelo ponto
?
(c) Quantos triângulos são determinados por estes pontos?
(d) Quantos triângulos contêm o ponto
como vértice?
(a) Quantas retas podemos formar com estes pontos?
(b) Quantas retas passam pelo ponto
(c) Quantos triângulos são determinados por estes pontos?
(d) Quantos triângulos contêm o ponto
Passo 1
O enunciado dá
pontos num plano, sem que haja três colineares, e pede:
(a) quantas retas podemos formar;
(b) quantas retas passam por ;
(c) quantos triângulos são determinados por estes pontos;
(d) quantos desses triângulos têm como vértice.
Vamos usar combinatória básica, lembrando que cada par de pontos define uma reta única e cada trio não colinear define um triângulo.
(a) quantas retas podemos formar;
(b) quantas retas passam por
(c) quantos triângulos são determinados por estes pontos;
(d) quantos desses triângulos têm
Vamos usar combinatória básica, lembrando que cada par de pontos define uma reta única e cada trio não colinear define um triângulo.
Passo 2
Para (a), cada reta é determinada por um par de pontos distintos. Como não existem três colineares, cada par gera uma reta diferente. O número de pares em um conjunto de
elementos é
Calculando:
Passo 3
Para (b), uma reta que passe por
é formada por
e mais um dos outros
pontos. Logo, o número de tais retas é
Passo 4
Para (c), cada triângulo é determinado por um conjunto de
pontos não colineares. Como não há três colineares, qualquer escolha de três pontos forma um triângulo. O total é
Calculando:
Passo 5
Para (d), um triângulo que tenha
como vértice é formado por
e mais dois pontos dentre os
restantes. Então o número é
Calculando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)