6 . A probabilidade de em cada instante, se conseguir fazer o “login” num determinado computador, a partir de um terminal remoto, é .70. Seja X a v.a. que representa o n^{\circ} de tentativas necessárias, até se obter a ligação.
a) Determine os 4 primeiros termos para a f.m.p. de X
b) Determine uma expressão genérica para a f.m.p. de X
c) Determine P(X=6)
d) Determine a expressão de F(x)
e) A partir de F , determine a probabilidade de que sejam necessárias, no máximo, 4 tentativas para conseguir ligar o computador
f) A partir de F, determine a probabilidade de que sejam necessárias, no mínimo, 5 tentativas para conseguir ligar o computador.

Passo 1

O enunciado define X como o número de tentativas até o primeiro sucesso numa sequência de tentativas independentes de probabilidade de sucesso p=0,7. O conteúdo é distribuição geométrica (versão “conta o número de ensaios até o primeiro sucesso”) e vamos precisar da fórmula da função massa de probabilidade (f.m.p.) e da função de distribuição acumulada (F).

Passo 2

Calculamos os quatro primeiros termos da f.m.p. usando
P(X=n)=(1-p)^{n-1}p,\quad p=0,7,\;1-p=0,3.
P(X=1)=0,7
P(X=2)=0,3\cdot0,7=0,21
P(X=3)=0,3^2\cdot0,7=0,063
P(X=4)=0,3^3\cdot0,7=0,0189

Passo 3

A expressão genérica da f.m.p. é
P(X=n)=(1-p)^{n-1}p=0,3^{\,n-1}\cdot0,7,\quad n=1,2,3,\dots

Passo 4

Para n=6 temos
P(X=6)=0,3^{5}\cdot0,7=0,00243\cdot0,7=0,001701

Passo 5

A função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor}=1-0,3^{\,\lfloor x\rfloor}.

Passo 6

A probabilidade de, no máximo, 4 tentativas é
P(X\le4)=F(4)=1-0,3^4=1-0,0081=0,9919.

Passo 7

A probabilidade de, no mínimo, 5 tentativas é
P(X\ge5)=1-P(X\le4)=0,3^4=0,0081.

Resposta

(a) P(X=1)=0,7, P(X=2)=0,21, P(X=3)=0,063, P(X=4)=0,0189
(b) P(X=n)=0,3^{\,n-1}\cdot0,7
(c) P(X=6)=0,001701
(d) F(x)=1-0,3^{\,\lfloor x\rfloor}
(e) P(X\le4)=0,9919
(f) P(X\ge5)=0,0081

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