(Problema da ruína de um jogador) Dois jogadores participam de um jogo com uma moeda que tem probabilidade de cara igual a p e de coroa q (p+q=1). O jogador A inicia o jogo com i fichas e ganha mais uma de B, cada vez que der cara. O jogador B começa com N-i fichas e, em cada lançamento que resultar coroa, ganha uma ficha de A. Para enfatizar a dependência do número inicial de fichas i, denomine por p_{(i)} a probabilidade do jogador A ficar com todas as fichas, o que implica na ruína de B. Condicione no resultado do primeiro lançamento da moeda, para estabelecer uma relação de recorrência entre os p_{(i) \text { 's }}. Usando que p_{(0)}=0 e p_{(N)}=1, mostre que p_{(i)}=\frac{1-(q / p)^{i}}{1-(q / p)^{N}} para p \neq \frac{1}{2} e p_{(i)}=\frac{i}{N} para p=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado descreve o problema clássico da ruína do jogador: uma moeda dá cara com probabilidade p e coroa com probabilidade q=1-p. O jogador A começa com i fichas e o jogador B com N-i. A cada lançamento de cara, A ganha uma ficha de B; a cada coroa, B ganha uma ficha de A. Denotamos por p_{(i)} a probabilidade de A ficar com todas as fichas (ou seja, chegar ao estado N) antes de ser arruinado ( 0). Nosso objetivo é obter uma fórmula fechada para p_{(i)}.

Passo 2

Condicionando no primeiro lançamento da moeda, se sair cara (probabilidade p) a situação vai para i+1, e se sair coroa (probabilidade q) vai para i-1. Assim, para 1\le i\le N-1 vale
p_{(i)} \;=\; p\,p_{(i+1)} \;+\; q\,p_{(i-1)}.
Além disso, as condições de fronteira (casos triviais) são
p_{(0)} = 0 \quad\text{e}\quad p_{(N)} = 1.

Passo 3

Para p\neq \tfrac12 resolvemos a equação de diferenças homogênea de segunda ordem
p\,p_{(i+1)} \;-\; p_{(i)} \;+\; q\,p_{(i-1)} = 0.
Reescrevendo em forma padrão:
p_{(i+1)} \;-\;\frac{1}{p}\,p_{(i)}\;+\;\frac{q}{p}\,p_{(i-1)} = 0,
cuja equação característica é
r^2 \;-\;\frac{1}{p}\,r\;+\;\frac{q}{p} = 0.
O discriminante dá \bigl(\frac{1}{p}\bigr)^2 -4\frac{q}{p} = \bigl(\tfrac{2p-1}{p}\bigr)^2, e as raízes são
r_1 = 1, \quad r_2 = \frac{q}{p}.
Logo, a solução geral é
p_{(i)} = A \;+\; B\Bigl(\frac{q}{p}\Bigr)^{i}.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
em i=0, p_{(0)}=0 implica
A + B = 0\quad\Longrightarrow\quad B = -A.
em i=N, p_{(N)}=1 implica
A - A\Bigl(\frac{q}{p}\Bigr)^N = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{1}{1 - (q/p)^N}.
Substituindo A e B na forma geral, obtemos para p\neq\tfrac12
p_{(i)} = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}.

Passo 5

No caso especial p=\tfrac12 temos q/p=1 e a recorrência fica
p_{(i)} = \tfrac12\,p_{(i+1)} + \tfrac12\,p_{(i-1)},
ou seja, as segundas diferenças são nulas e a solução é linear:
p_{(i)} = A\,i + B.
Com p_{(0)}=0 vem B=0 e com p_{(N)}=1 vem A=1/N, logo
p_{(i)} = \frac{i}{N}.

Resposta

p_{(i)} = \begin{cases} \displaystyle \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^{i}}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^{N}}, & p \neq \frac{1}{2},\\[1em] \displaystyle \frac{i}{N}, & p = \frac{1}{2}. \end{cases}]

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