(Problema da ruína de um jogador) Dois jogadores participam de um jogo com uma moeda que tem probabilidade de cara igual a
e de coroa
. O jogador
inicia o jogo com
fichas e ganha mais uma de
, cada vez que der cara. O jogador
começa com
fichas e, em cada lançamento que resultar coroa, ganha uma ficha de
. Para enfatizar a dependência do número inicial de fichas
, denomine por
a probabilidade do jogador
ficar com todas as fichas, o que implica na ruína de
. Condicione no resultado do primeiro lançamento da moeda, para estabelecer uma relação de recorrência entre os
. Usando que
e
, mostre que
para
e
para
.
Passo 1
O enunciado descreve o problema clássico da ruína do jogador: uma moeda dá cara com probabilidade
e coroa com probabilidade
. O jogador A começa com
fichas e o jogador B com
. A cada lançamento de cara, A ganha uma ficha de B; a cada coroa, B ganha uma ficha de A. Denotamos por
a probabilidade de A ficar com todas as fichas (ou seja, chegar ao estado
) antes de ser arruinado (
). Nosso objetivo é obter uma fórmula fechada para
.
Passo 2
Condicionando no primeiro lançamento da moeda, se sair cara (probabilidade
) a situação vai para
, e se sair coroa (probabilidade
) vai para
. Assim, para
vale
Além disso, as condições de fronteira (casos triviais) são
Passo 3
Para
resolvemos a equação de diferenças homogênea de segunda ordem
Reescrevendo em forma padrão:
cuja equação característica é
O discriminante dá
, e as raízes são
Logo, a solução geral é
Passo 4
Aplicando as condições de contorno:
em ,
implica
em
em
,
implica
Substituindo
e
na forma geral, obtemos para
Passo 5
No caso especial
temos
e a recorrência fica
ou seja, as segundas diferenças são nulas e a solução é linear:
Com
vem
e com
vem
, logo