O resultado do exemplo 10 e o exercício 37(a) pode ser ainda demonstrado por um terceiro método: sejam X1, X2, ldots e X variáveis aleatórias independentes tais que X é discreta com P(X=n)=pn, n >= 1, e Xn possui função de distribuição Fn, n >= 1. Seja Y a variável aleatória que é igual a Xn quando X=n. de modo que
Y=sumn >=q 1 Xn I[X=n]
Mostre que varphi=sum pn varphin é a função característica de Y, usando esperança condicional.

Passo 1

O enunciado define variáveis aleatórias independentes X e (Xn)n>=1 com
P(X=n)=pn, Xn com função característica varphin(t), çãí
e constrói
Y=sumn>=1Xn,I[X=n]
O objetivo é mostrar que a função característica de Y é
varphiY(t)=sumn>=1pn,varphin(t),
usando a propriedade da esperança condicional.

Passo 2

Definimos a função característica de Y por
varphiY(t)=El[e^i,t,Yr]
Para explorar a definição de Y, vamos aplicar a lei da esperança total (ou lei da torre):
El[e^i,t,Yr] =El[El[e^i,t,Ymid Xr]r]

Passo 3

Quando X=n, por construção temos Y=Xn. Logo, a esperança condicional é
El[e^i,t,Ymid X=nr] =El[e^i,t,Xnr] =varphin(t)

Passo 4

Aplicando a lei da esperança total e somando sobre todos os valores de X, vem
varphiY(t) =El[El[e^i,t,Ymid Xr]r] =sumn>=1P(X=n),varphin(t) =sumn>=1pn,varphin(t)

Resposta

varphiY(t)=sumn>=1pn,varphin(t).

Exercícios de Livros Relacionados