O resultado do exemplo 10 e o exercício 37(a) pode ser ainda demonstrado por um terceiro método: sejam
e
variáveis aleatórias independentes tais que
é discreta com
, e
possui função de distribuição
. Seja
a variável aleatória que é igual a
quando
. de modo que
Mostre que
é a função característica de
, usando esperança condicional.
Passo 1
O enunciado define variáveis aleatórias independentes
e
com
e constrói
O objetivo é mostrar que a função característica de
é
usando a propriedade da esperança condicional.
Passo 2
Definimos a função característica de
por
Para explorar a definição de
, vamos aplicar a lei da esperança total (ou lei da torre):
Passo 3
Quando
, por construção temos
. Logo, a esperança condicional é
Passo 4
Aplicando a lei da esperança total e somando sobre todos os valores de
, vem