Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias, cada uma tendo distribuição simétrica em torno de zero. Demonstre que se X xrightarrowD X, então X também tem distribuição simétrica em torno de zero.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência de variáveis aleatórias Xn tais que cada Xn é simétrica em torno de zero, isto é, para todo n vale
Xn stackreld= -Xn
Além disso, sabe-se que
Xn xrightarrowD X
Precisamos mostrar que a variável limite X também satisfaz
X stackreld= -X,
ou seja, X tem distribuição simétrica em torno de zero.

Passo 2

Como Xn é simétrica, a variável -Xn tem exatamente a mesma lei de probabilidade que Xn. Logo, da convergência em distribuição
Xn xrightarrowD X
segue também
-,Xn xrightarrowD X

Passo 3

Por outro lado, a função f(x) = -x é contínua. Pelo Teorema da Transformação Contínua, se Xn xrightarrowD X então
f(Xn)= -,Xn xrightarrowD f(X)= -,X

Passo 4

Agora temos duas conclusões sobre a sequência -Xn:
  1. -Xn xrightarrowD X.
  2. -Xn xrightarrowD -X.
    Como o limite em distribuição é único (isto é, duas possíveis leis-limite devem coincidir), a lei de X deve ser igual à lei de -X. Portanto
X stackreld= -X,
o que significa que X é simétrica em torno de zero.

Resposta

X tem distribuição simétrica em torno de zero.

Exercícios de Livros Relacionados