Sejam variáveis aleatórias, cada uma tendo distribuição simétrica em torno de zero. Demonstre que se , então X também tem distribuição simétrica em torno de zero.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência de variáveis aleatórias Xn tais que cada Xn é simétrica em torno de zero, isto é, para todo n vale
Xn stackreld= -Xn
Além disso, sabe-se que
Xn xrightarrowD X
Precisamos mostrar que a variável limite X também satisfaz
X stackreld= -X,
ou seja, X tem distribuição simétrica em torno de zero.
Passo 2
Como Xn é simétrica, a variável -Xn tem exatamente a mesma lei de probabilidade que Xn. Logo, da convergência em distribuição
Xn xrightarrowD X
segue também
-,Xn xrightarrowD X
Passo 3
Por outro lado, a função f(x) = -x é contínua. Pelo Teorema da Transformação Contínua, se Xn xrightarrowD X então
f(Xn)= -,Xn xrightarrowD f(X)= -,X
Passo 4
Agora temos duas conclusões sobre a sequência -Xn:
-Xn xrightarrowD X.
-Xn xrightarrowD -X.
Como o limite em distribuição é único (isto é, duas possíveis leis-limite devem coincidir), a lei de X deve ser igual à lei de -X. Portanto
X stackreld= -X,
o que significa que X é simétrica em torno de zero.
Resposta
X tem distribuição simétrica em torno de zero.
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 6.6.4 - Ex. 18