(Este resultado é útil na Estatistica Não-Paramétrica.) Sejam T1, T2, ldots e S1, S2, ldots seqüências de variáveis aleatórias. Mostre que se (i) Tn-E TnraizVar Tn xrightarrowD N(0,1) e (ii) E(Tn-Sn)^2Var Tn 0, segue-se que Sn-E SnraizVar Sn xrightarrowD N(0,1). (Sugestão. Prove primeiro de (ii) que E Tn-E SnraizVar Tn 0 e (Tn-Sn)raizVar Tn 0. Depois, use a desigualdade do triângulo várias vezes para provar que Var SnVar Tn 1.)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos duas sequências de variáveis aleatórias Tn e Sn tais que
  1. Tn-E TnraizVarTnxrightarrowDN(0,1).
  2. El(Tn-Snr)^2VarTnto0.
    Queremos mostrar que
Sn-E SnraizVarSn;xrightarrowD;N(0,1)
O conteúdo que vamos usar inclui:
  • Convergência em L^2 implica convergência em probabilidade (desigualdade de Chebyshev).
  • Teorema de Slutsky para somas e produtos de variáveis aleatórias.
  • Desigualdade triangular em espaço L^2 para comparar variâncias.

Passo 2

Provar que Tn-SnraizVarTnto0 em probabilidade.
Pela desigualdade de Chebyshev, para cada varepsilon>0
Pl(l|tfracTn-SnraizVarTnr|>varepsilonr) <= El(Tn-Snr)^2varepsilon^2,VarTn ;xrightarrowntoinfty;0,
pois El(Tn-Snr)^2/VarTnto0. Logo
Tn-SnraizVarTnxrightarrowP0

Passo 3

Provar que E Tn-E SnraizVarTnto0.
Usamos que
l|E Tn-E Snr| = l|E[Tn-Sn]r| <= raizEl(Tn-Snr)^2
pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz, e portanto
l|E Tn-E Snr|raizVarTn <= raizEl(Tn-Snr)^2VarTn ;xrightarrowntoinfty;0

Passo 4

Mostrar que
Sn-E SnraizVarTnxrightarrowDN(0,1).
Escrevemos
Sn-E SnraizVarTn = Tn-E TnraizVarTn ;+; Sn-TnraizVarTn ;+; E Tn-E SnraizVarTn
Pelo Passo 2 e Passo 3, os dois últimos termos convergem a 0 em probabilidade. Pelo item (i), o primeiro termo converge em distribuição a N(0,1). Pelo teorema de Slutsky para soma, a soma dos três converge em distribuição a N(0,1).

Passo 5

Provar que VarSnVarTnto1.
Note que
raizVarSn =l|Sn-E Snr|2 =l|,Tn-E Tn+(Sn-Tn)+(E Tn-E Sn)r|2
Pela desigualdade triangular em L^2,
l| raizVarSn - raizVarTn r| ;<=; l|Sn-Tnr|2 ;+; l|E Tn-E Snr|
Mas l|Sn-Tnr|2=raizE(Tn-Sn)^2 e l|E Tn-E Snr| já foram mostrados nos Passos 2 e 3 multiplicados por raizVarTn tenderem a zero. Assim
raizVarSnraizVarTnto1 Longrightarrow VarSnVarTnto1

Passo 6

Concluir a normalidade com o denominador raizVarSn.
Escrevemos
Sn-E SnraizVarSn = raizVarTnraizVarSn ;times; Sn-E SnraizVarTn
Pelo Passo 5, o fator raizVarTn/raizVarSnto1. Pelo Passo 4, Sn-E SnraizVarTnxrightarrowDN(0,1). Então, pelo teorema de Slutsky para produto,
Sn-E SnraizVarSn xrightarrowDN(0,1)

Resposta

Sn-E SnraizVarSnxrightarrowDN(0,1)

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