(Este resultado é útil na Estatistica Não-Paramétrica.) Sejam e seqüências de variáveis aleatórias. Mostre que se (i) e (ii) E(Tn-Sn)^2Var Tn 0, segue-se que Sn-E SnraizVar Sn xrightarrowD N(0,1). (Sugestão. Prove primeiro de (ii) que E Tn-E SnraizVar Tn 0 e (Tn-Sn)raizVar Tn 0. Depois, use a desigualdade do triângulo várias vezes para provar que Var SnVar Tn 1.)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos duas sequências de variáveis aleatórias Tn e Sn tais que
Tn-E TnraizVarTnxrightarrowDN(0,1).
El(Tn-Snr)^2VarTnto0.
Queremos mostrar que
Sn-E SnraizVarSn;xrightarrowD;N(0,1)
O conteúdo que vamos usar inclui:
Convergência em L^2 implica convergência em probabilidade (desigualdade de Chebyshev).
Teorema de Slutsky para somas e produtos de variáveis aleatórias.
Desigualdade triangular em espaço L^2 para comparar variâncias.
Passo 2
Provar que Tn-SnraizVarTnto0 em probabilidade.
Pela desigualdade de Chebyshev, para cada varepsilon>0
Pelo Passo 2 e Passo 3, os dois últimos termos convergem a 0 em probabilidade. Pelo item (i), o primeiro termo converge em distribuição a N(0,1). Pelo teorema de Slutsky para soma, a soma dos três converge em distribuição a N(0,1).