Sejam X e Y variáveis aletatórias independentes com distribuição comum U[0,1]. Calcule E Z e E W, onde Z=min (X, Y) e W= =max (X, Y).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e ambas têm distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Definimos
Z = min(X,Y),
W = max(X,Y)
Para calcular E[Z] e E[W] vamos usar as funções de distribuição acumulada (FDA) de variáveis de ordem e depois obter as densidades, para finalmente calcular as expectativas via integral.

Passo 2

Começamos por Z. A FDA de Z é
FZ(z) = P(Z <= z) = 1 - P(Z > z) = 1 - P(X > z,;Y > z)
Como X e Y são independentes e P(X>z)=1-z para 0<= z<=1, temos
FZ(z) = 1 - (1-z)^2, 0<= z<=1
Derivando, obtemos a densidade
fZ(z) = F'Z(z) = 2(1-z), 0<= z<=1

Passo 3

Agora calculamos
E[Z] = integral0^1 z,fZ(z),dz = integral0^1 2z(1-z),dz
Desenvolvendo a integral:
integral0^1 2z(1-z),dz = 2integral0^1 (z - z^2),dz = 2l[tfracz^22 - tfracz^33r]0^1 = 2l(tfrac12 - tfrac13r) = 2cdot tfrac16 = tfrac13

Passo 4

Para W temos
FW(w) = P(W <= w) = P(X <= w,;Y <= w) = w^2, 0<= w<=1
Derivando, a densidade é
fW(w) = F'W(w) = 2w, 0<= w<=1

Passo 5

Calculamos
E[W] = integral0^1 w,fW(w),dz = integral0^1 2w^2,dw = 2integral0^1 w^2,dw = 2l[tfracw^33r]0^1 = 2cdot tfrac13 = tfrac23

Resposta

E[Z] = tfrac13, E[W] = tfrac23

Exercícios de Livros Relacionados