Sejam
Encontre a distribuição a posteriori de com relação à perda quadrática.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra independente
Queremos (a) a distribuição a posteriori de (\theta] e (b) o estimador de Bayes sob perda quadrática. Vamos usar o Teorema de Bayes, a forma da verossimilhança uniforme e o fato de que Pareto é conjugada aqui.

Passo 2

Para Xisim U(0,theta) independente, a verossimilhança é
L(thetamid x1,dots,xn) =prodi=1^n1theta,1theta>= maxi xi =theta^-n,1theta>= x(n),
onde x(n)=maxx1,dots,xn.

Passo 3

A densidade a posteriori (não normalizada) é
pi(thetamid x) propto pi(theta),L(thetamid x) =b,a^btheta^b+1;theta^-n, 1theta>= max(a,x(n)) =b,a^btheta^n+b+1, 1theta>= m,
onde definimos m=maxa,x(n).

Passo 4

Reconhecemos que
pi(thetamid x) =(n+b),m^,n+btheta^,n+b+1 para theta>= m,
ou seja, thetamid x segue uma Pareto com parâmetro de escala m e forma alpha=n+b.

Passo 5

Sob perda quadrática o estimador de Bayes é a esperança a posteriori
E[thetamid x] =integralm^inftytheta; (n+b),m^n+btheta^n+b+1,dtheta =n+b,n+b-1,;m,
válido quando n+b>1.

Resposta

A distribuição a posteriori é
thetamid xsimParetol(alpha=n+b,;m=max(a,x(n))r),
com densidade
pi(thetamid x) =(n+b),m^,n+btheta^,n+b+1, theta>= m
O estimador de Bayes sob perda quadrática é
hatthetaB=E[thetamid x] =n+b,n+b-1,;maxa,maxi xi

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