Sejam
Encontre a distribuição a posteriori de com relação à perda quadrática.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma amostra independente
Queremos (a) a distribuição a posteriori de (\theta] e (b) o estimador de Bayes sob perda quadrática. Vamos usar o Teorema de Bayes, a forma da verossimilhança uniforme e o fato de que Pareto é conjugada aqui.
Passo 2
Para
independente, a verossimilhança é
onde
.
Passo 3
A densidade a posteriori (não normalizada) é
onde definimos
.
Passo 4
Reconhecemos que
ou seja,
segue uma Pareto com parâmetro de escala
e forma
.
Passo 5
Sob perda quadrática o estimador de Bayes é a esperança a posteriori
válido quando
.
Resposta
A distribuição a posteriori é
com densidade
O estimador de Bayes sob perda quadrática é