(a) Seja undersetsimX=(X1, ldots, Xn) um vetor aleatório com densidade f(x1, ldots, xn). Use o princípio da preservação de chances relativas para obter f(x1, ldots, xk mid xk+1, ldots, xn), a densidade condicional de (X1, ldots, Xk) dado que (Xk+1, ldots, Xn)=(xk+1, ldots, xn), onde 1 <= k <= n-1. (Não é preciso demonstrar formalmente.)
(b) Sejam X1, X2 e X3 independentes com distribuição comum U[0,1], com X(1), X(2) e X(3) as estatisticas de ordem. Determine a distribuição condicional de X(2) dadas X(1) e X(3).

Passo 1

O enunciado pede em (a) derivar, pelo princípio da preservação de chances relativas, a densidade condicional de l(X1,dots,Xkr) dado l(Xk+1,dots,Xnr) quando l(X1,dots,Xnr) tem densidade conjunta f(x1,dots,xn). Em (b) temos X1,X2,X3 i.i.d. U[0,1], e X(1)<= X(2)<= X(3) são as estatísticas de ordem; queremos a distribuição de X(2) condicionada a X(1) e X(3).

Passo 2

Para usar o princípio da preservação de chances relativas basta notar que, ao condicionar em l(Xk+1,dots,Xnr)=l(xk+1,dots,xnr), a densidade de l(X1,dots,Xkr) deve ser proporcional à densidade conjunta original vista como função de l(x1,dots,xkr) com l(xk+1,dots,xnr) fixos. Logo
fl(x1,dots,xkmid xk+1,dots,xnr) propto fl(x1,dots,xnr)

Passo 3

Para determinar a constante de normalização, exigimos
integralR^k fl(x1,dots,xkmid xk+1,dots,xnr) ,dx1cdots dxk=1
Assim a constante é o inverso de
integralR^k fl(x1,dots,xnr) ,dx1cdots dxk,
e obtemos
boxed fl(x1,dots,xkmid xk+1,dots,xnr) =fl(x1,dots,xnr) integralR^kfl(x1,dots,xnr),dx1cdots dxk

Passo 4

Para (b), sabemos que as estatísticas de ordem de n=3 i.i.d. U[0,1] têm densidade conjunta
fX(1),X(2),X(3)(x,y,z) =3! =6, 0<= x<= y<= z<=1,
e zero caso contrário.

Passo 5

Queremos
fX(2)mid X(1),X(3)(ymid x,z) =fX(1),X(2),X(3)(x,y,z) fX(1),X(3)(x,z)
Primeiro encontramos a marginal de l(X(1),X(3)r) integrando em yin[x,z]:
fX(1),X(3)(x,z) =integraly=x^z6,dy =6,(z-x), 0<= x<z<=1

Passo 6

Substituindo na fórmula condicional, para x<y<z,
fX(2)mid X(1),X(3)(ymid x,z) =66,(z-x) =1z-x
Isso mostra que, dado X(1)=x e X(3)=z, o valor de X(2) é uniforme em (x,z).

Resposta

(a)
fl(x1,dots,xkmid xk+1,dots,xnr) =fl(x1,dots,xnr) integralR^kfl(x1,dots,xnr),dx1cdots dxk
(b)
fX(2)mid X(1),X(3)(ymid x,z) = dfrac1z-x,&x<y<z, 0,&caso contrário, á
ou seja, X(2)midl(X(1)=x,X(3)=zr)sim U(x,z).

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