(a) Seja um vetor aleatório com densidade . Use o princípio da preservação de chances relativas para obter , a densidade condicional de dado que , onde . (Não é preciso demonstrar formalmente.)
(b) Sejam e independentes com distribuição comum , com e as estatisticas de ordem. Determine a distribuição condicional de dadas e .
Passo 1
O enunciado pede em (a) derivar, pelo princípio da preservação de chances relativas, a densidade condicional de dado quando tem densidade conjunta . Em (b) temos i.i.d. , e são as estatísticas de ordem; queremos a distribuição de condicionada a e .
Passo 2
Para usar o princípio da preservação de chances relativas basta notar que, ao condicionar em , a densidade de deve ser proporcional à densidade conjunta original vista como função de com fixos. Logo
Passo 3
Para determinar a constante de normalização, exigimos
Assim a constante é o inverso de
e obtemos
Passo 4
Para (b), sabemos que as estatísticas de ordem de i.i.d. têm densidade conjunta
e zero caso contrário.
Passo 5
Queremos
Primeiro encontramos a marginal de integrando em :
Passo 6
Substituindo na fórmula condicional, para ,
Isso mostra que, dado e , o valor de é uniforme em .
Resposta
(a)
(b)
ou seja, X(2)midl(X(1)=x,X(3)=zr)sim U(x,z).
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 4.4.5 - Ex. 24