Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim N(mu, 1). Queremos testar H0: mu=0 versus H1: mu=1. Encontre n que produz o teste mais poderoso com alpha=beta=0,05.

Passo 1

O enunciado diz que X1,dots,Xn são iid com distribuição N(mu,1) e queremos testar
H0:mu=0 versus H1:mu=1
com erro tipo I alpha=0,05 e erro tipo II beta=0,05.
O conteúdo necessário é o teste de Neyman–Pearson para médias normais e quantis da normal padrão.

Passo 2

Definimos a estatística de teste
bar X = 1nsumi=1^nXi,
que satisfaz bar Xsim N(mu,1/n). Pelo Lema de Neyman–Pearson, o teste UMP de nível alpha rejeita H0 se
bar X > c

Passo 3

Para impor o nível alpha=0,05, calculamos
alpha = P0(bar X>c) = 1 - Phil(craiznr)
e queremos 1-Phi(craizn)=0,05, ou seja
Phi(craizn)=0,95 Longrightarrow craizn = z0,95 = Phi^-1(0,95)approx1,645
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c = 1,645raizn

Passo 4

Sob H1 (com mu=1), o erro tipo II é
beta = P1(bar X<= c) = Phil((c-1)raiznr)
e queremos Phi((c-1)raizn)=0,05, ou seja
(c-1)raizn = z0,05 = Phi^-1(0,05)approx-1,645
Isto implica
c = 1 + -1,645raizn

Passo 5

Igualando as duas expressões de c:
1,645raizn = 1 - 1,645raizn Longrightarrow 21,645raizn=1 Longrightarrow raizn=2cdot1,645=3,29 Longrightarrow n=(3,29)^2approx10,82
Como n deve ser inteiro, tomamos n=11.

Resposta

n=11

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