Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
e sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
, sendo as amostras independentes.
i) Determine o teste mais poderoso para testar
ii) Verifique se seu teste é UMP para testar
iii) Se você observar
, qual a sua decisão ao nível de 5%?
iv) Determine o teste da RVG para testar
versus
.
v) Mostre que o teste acima é equivalente a um teste F exato.
i) Determine o teste mais poderoso para testar
iv) Determine o teste da RVG para testar
v) Mostre que o teste acima é equivalente a um teste F exato.
Passo 1
Temos duas amostras independentes:
e
. Denotemos
Para testar hipóteses simples vs simples usamos o Lema de Neyman–Pearson; para hipóteses compostas aproveitamos a propriedade de razão de verossimilhança monótona.
Passo 2
(i) Sob
e
a razão de verossimilhanças é
Rejeitamos
se
for muito grande, isto é, se
for grande, o que equivale a
Esse é o teste mais poderoso de nível
, com
tal que
Passo 3
(ii) Note que a família de densidades em
tem razão de verossimilhança monótona em
. Pelo Teorema de Karlin–Rubin, o mesmo teste acima (rejeitar para
pequeno) é UMP para testar
Passo 4
(iii) Com
,
e
temos
Sob
,
, ou equivalentemente
com
. Para
mas atenção:
tem forma
com
, logo é mais simples usar diretamente
Como
, não rejeitamos
a
.
Passo 5
(iv) Para testar
fazemos a razão de verossimilhanças geral:
Rejeitamos
quando
for muito pequeno, isto é, quando
for pequeno ou muito grande. Equivalentemente, o teste crítico é de duas caudas em
Passo 6
Observe que sob
temos
e
independentes, cada um
, então
Logo o rejeitamento de
ocorre se
Passo 7
(v) Acabamos de mostrar que o LRT para
rejeita quando
está fora dos quantis centrais da distribuição
. Isso mostra a equivalência exata entre o LRT e um teste baseado em
.
Resposta
i) O teste MP rejeita
se
ii) Esse mesmo teste é UMP para
vs
.
iii) Com ,
e
, o crítico é
; como
, não rejeitamos
.
iv) O LRT para rejeita se
iii) Com
iv) O LRT para
v) Como
e
são proporcionais a
,
, mostrando a equivalência ao teste
.