Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim exp (theta1) e sejam Y1, ldots, Yn uma amostra aleatória da variável aleatória Y sim exp (theta2), sendo as amostras independentes.
i) Determine o teste mais poderoso para testar
H0: theta1=theta2=1 versus H1: theta1=theta2=2
ii) Verifique se seu teste é UMP para testar
H0: theta1=theta2=1 versus H1: theta1=theta2>1
iii) Se você observar n=5, barx=1,1 ; bary=0,8, qual a sua decisão ao nível de 5%?
iv) Determine o teste da RVG para testar H0: theta1=theta2 versus H1: theta1 neq theta2.
v) Mostre que o teste acima é equivalente a um teste F exato.

Passo 1

Temos duas amostras independentes: X1,dots,Xnsimexp(theta1) e Y1,dots,Ynsimexp(theta2). Denotemos
SX=sumi=1^nXi, SY=sumi=1^nYi, S=SX+SY
Para testar hipóteses simples vs simples usamos o Lema de Neyman–Pearson; para hipóteses compostas aproveitamos a propriedade de razão de verossimilhança monótona.

Passo 2

(i) Sob H0colontheta1=theta2=1 e H1colontheta1=theta2=2 a razão de verossimilhanças é
Lambda( x, y) =L(2,2)L(1,1) =2^2ne^-2S1^2ne^-S =2^2ne^-S
Rejeitamos H0 se Lambda for muito grande, isto é, se e^-S for grande, o que equivale a
S<= c
Esse é o teste mais poderoso de nível alpha, com c tal que
PrH0(S<= c)=alpha

Passo 3

(ii) Note que a família de densidades em theta1=theta2=theta tem razão de verossimilhança monótona em S. Pelo Teorema de Karlin–Rubin, o mesmo teste acima (rejeitar para S pequeno) é UMP para testar
H0colontheta=1 vs H1colontheta>1

Passo 4

(iii) Com n=5, bar x=1,1 e bar y=0,8 temos
SX=5cdot1,1=5,5, SY=5cdot0,8=4,; S=9,5
Sob H0, SsimGamma(2n,1), ou equivalentemente 2Ssimchi^22n com 2n=10. Para alpha=0,05
2c=chi^210;0,05approx 3,94 Longrightarrow capprox1,97,
mas atenção: S tem forma Gamma(2n,1) com 2n=10, logo é mais simples usar diretamente
c=Gamma^-1(0,05;10)approx5,43
Como Srm obs=9,5>5,43, não rejeitamos H0 a 5%.

Passo 5

(iv) Para testar
H0colontheta1=theta2vs H1colontheta1neqtheta2
fazemos a razão de verossimilhanças geral:
Lambda =suptheta1=theta2=thetaL(theta,theta)suptheta1,theta2L(theta1,theta2) =l(tfrac2nSr)^2ne^-2nl(tfracnSXr)^ne^-n,l(tfracnSYr)^ne^-n =2^2nl(SX,SYS^2r)^n
Rejeitamos H0 quando Lambda for muito pequeno, isto é, quando
SX,SYS^2
for pequeno ou muito grande. Equivalentemente, o teste crítico é de duas caudas em
T=SXSY

Passo 6

Observe que sob H0 temos SX e SY independentes, cada um Gamma(n,1), então
SX/nSY/nsim F(2n,2n)
Logo o rejeitamento de H0 ocorre se
T=SXSY >F2n,2n;1-alpha/2 ou T<F2n,2n;alpha/2

Passo 7

(v) Acabamos de mostrar que o LRT para H0colontheta1=theta2 rejeita quando T=SX/SY está fora dos quantis centrais da distribuição F(2n,2n). Isso mostra a equivalência exata entre o LRT e um teste baseado em F.

Resposta

i) O teste MP rejeita H0 se
SX+SY<= c, PrH0(SX+SY<= c)=alpha
ii) Esse mesmo teste é UMP para H0colontheta=1 vs theta>1.
iii) Com n=5, S=9,5 e alpha=0,05, o crítico é capprox5,43; como 9,5>5,43, não rejeitamos H0.
iv) O LRT para theta1=theta2 rejeita se
SXSY >F2n,2n;1-alpha/2 ou SXSY <F2n,2n;alpha/2
v) Como SX/n e SY/n são proporcionais a chi^22n,
SX/nSY/nsim F(2n,2n), mostrando a equivalência ao teste F.

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